ما هو العمود المنصِّف؟
العمود المنصِّف لقطعة مستقيمة هو المستقيم الذي يقطع القطعة في نقطة منتصفها تمامًا ويلتقي بها بزاوية قائمة قدرها 90°. وكل نقطة على هذا المستقيم تبعد المسافة نفسها عن طرفي القطعة، وهو ما يجعله ركيزة أساسية في الإنشاءات الهندسية، وفي إيجاد مركز الدائرة المحيطة بالمثلث، وفي البراهين الإحداثية.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل إحداثيات طرفي القطعة المستقيمة: النقطة الأولى (x₁، y₁) والنقطة الثانية (x₂، y₂). تُرجع لك الحاسبة معادلة العمود المنصِّف، وميله، ونقطة المنتصف التي يمر بها، إضافة إلى المقطع الصادي. وهي تعالج تلقائيًا الحالات الخاصة، مثل القطعة الأفقية (فيكون منصِّفها عموديًا) والقطعة العمودية (فيكون منصِّفها أفقيًا).
شرح الصيغة الرياضية
ابدأ بإيجاد نقطة المنتصف \(M = \left(\dfrac{\text{x}_1+\text{x}_2}{2},\ \dfrac{\text{y}_1+\text{y}_2}{2}\right)\). ميل القطعة هو \(\dfrac{\text{y}_2-\text{y}_1}{\text{x}_2-\text{x}_1}\)، أما العمود المنصِّف فيستخدم المقلوب السالب، أي \(m_\perp = -\dfrac{\text{x}_2-\text{x}_1}{\text{y}_2-\text{y}_1}\). وبتعويض النقطة M في صيغة النقطة والميل نحصل على $$y - M_y = m_\perp\,(x - M_x)$$ التي تتحول بعد إعادة الترتيب إلى \(y = m_\perp\cdot x + b\).
مثال محلول
لنأخذ النقطتين (1، 2) و(5، 6): نقطة المنتصف \(M = (3,\ 4)\). ميل القطعة \(= \dfrac{6-2}{5-1} = 1\)، ومن ثَمّ يكون \(m_\perp = -1\). المعادلة: $$y - 4 = -1\,(x - 3)$$ أي \(y = -x + 7\). والمقطع الصادي يساوي \(7\).
الأسئلة الشائعة
ماذا لو كانت القطعة أفقية؟ إذا كان \(\text{y}_1 = \text{y}_2\)، فإن القطعة أفقية، ويكون عمودها المنصِّف هو المستقيم العمودي \(x = M_x\) الذي يكون ميله غير معرَّف.
ماذا لو كانت النقطتان متطابقتين؟ النقطة الواحدة ليس لها عمود منصِّف وحيد، ولذلك تكون النتيجة غير معرَّفة.
لماذا نستخدم المقلوب السالب؟ حاصل ضرب ميلَي المستقيمين المتعامدين يساوي \(-1\)، لذا فإن قلب ميل القطعة وعكس إشارته يضمن تقاطعًا بزاوية قائمة قدرها 90°.
