Đường trung trực là gì?
Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng đó và vuông góc với nó (tạo góc 90°). Mọi điểm nằm trên đường trung trực đều cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng. Chính tính chất này khiến đường trung trực trở thành công cụ quan trọng trong các bài toán dựng hình, tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác và chứng minh trong hình học tọa độ.
Cách sử dụng máy tính
Hãy nhập tọa độ của hai đầu mút đoạn thẳng — Điểm 1 \((x_1, y_1)\) và Điểm 2 \((x_2, y_2)\). Máy tính sẽ trả về phương trình đường trung trực, hệ số góc, trung điểm mà nó đi qua và giao điểm với trục tung. Công cụ tự động xử lý các trường hợp đặc biệt như đoạn thẳng nằm ngang (cho ra đường trung trực thẳng đứng) và đoạn thẳng thẳng đứng (cho ra đường trung trực nằm ngang).
Giải thích công thức
Trước tiên, tìm trung điểm \(M = \left(\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)\). Hệ số góc của đoạn thẳng là \(\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\); đường trung trực sử dụng nghịch đảo đối dấu của giá trị này, tức \(m_\perp = -\dfrac{x_2-x_1}{y_2-y_1}\). Thay tọa độ trung điểm M vào dạng phương trình điểm–hệ số góc, ta có
$$y - M_y = m_\perp (x - M_x)$$sau khi biến đổi sẽ thành \(y = m_\perp \cdot x + b\).
Ví dụ minh họa
Với hai điểm \((1, 2)\) và \((5, 6)\): trung điểm \(M = (3, 4)\). Hệ số góc của đoạn thẳng \(= \dfrac{6-2}{5-1} = 1\), nên \(m_\perp = -1\). Phương trình:
$$y - 4 = -1(x - 3) \quad\Longrightarrow\quad y = -x + 7$$Giao điểm với trục tung là \(7\).
Câu hỏi thường gặp
Nếu đoạn thẳng nằm ngang thì sao? Khi \(y_1 = y_2\), đoạn thẳng nằm ngang, do đó đường trung trực của nó là đường thẳng đứng \(x = M_x\) và không có hệ số góc xác định.
Nếu hai điểm trùng nhau thì sao? Một điểm duy nhất không có đường trung trực xác định, vì vậy kết quả là không xác định.
Vì sao lại dùng nghịch đảo đối dấu? Hai đường thẳng vuông góc có tích hai hệ số góc bằng \(-1\), nên việc lấy nghịch đảo rồi đổi dấu hệ số góc của đoạn thẳng sẽ đảm bảo hai đường cắt nhau tại góc 90°.
