Đường trung trực là gì?
Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn và vuông góc với nó tại một góc 90°. Mọi điểm nằm trên đường này đều cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng. Chính tính chất đó khiến đường trung trực trở nên rất quan trọng trong hình học, các bài chứng minh tọa độ, việc xác định tâm đường tròn và dựng hình tam giác (nó giúp tìm tâm đường tròn ngoại tiếp).
Cách sử dụng máy tính
Bạn chỉ cần nhập tọa độ của hai đầu mút đoạn thẳng là \((x_1, y_1)\) và \((x_2, y_2)\). Máy tính sẽ cho ra trung điểm, hệ số góc của đoạn thẳng ban đầu, hệ số góc của đường vuông góc, giao điểm với trục y và phương trình đầy đủ của đường trung trực ở dạng hệ số góc – tung độ gốc.
Giải thích công thức
Trước tiên, tìm trung điểm \(M = \left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\). Tiếp theo, tính hệ số góc của đoạn thẳng \(m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\). Hệ số góc của đường vuông góc là nghịch đảo âm \(m_p = -\frac{1}{m}\). Cuối cùng, dùng phương trình điểm – hệ số góc đi qua trung điểm: \(y - m_y = m_p(x - m_x)\), rồi biến đổi về dạng \(y = m_p x + b\). Phương trình đầy đủ:
$$y - m_y = -\frac{1}{m}\left(x - m_x\right)$$$$\text{trong đó}\quad \left\{ \begin{aligned} m_x &= \dfrac{x_1 + x_2}{2} \\ m_y &= \dfrac{y_1 + y_2}{2} \\ m &= \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \end{aligned} \right.$$Các trường hợp đặc biệt: nếu đoạn thẳng thẳng đứng \((x_1=x_2)\) thì đường trung trực nằm ngang \((y = m_y)\); nếu đoạn thẳng nằm ngang \((y_1=y_2)\) thì đường trung trực thẳng đứng \((x = m_x)\).
Ví dụ minh họa
Cho hai điểm \((1, 2)\) và \((5, 6)\). Trung điểm \(= (3, 4)\). Hệ số góc của đoạn thẳng \(= \frac{6-2}{5-1} = 1\). Hệ số góc đường vuông góc \(= -1\). Phương trình: \(y - 4 = -1(x - 3) \rightarrow y = -x + 7\). Giao điểm với trục y là \(7\).
Câu hỏi thường gặp
Nếu hai điểm trùng nhau thì sao? Một điểm duy nhất không tạo thành đoạn thẳng, nên không có đường trung trực xác định; bạn hãy nhập hai điểm phân biệt.
Tại sao hệ số góc vuông góc lại là nghịch đảo âm? Hai đường thẳng vuông góc khi tích hai hệ số góc của chúng bằng \(-1\), do đó \(m_p = -\frac{1}{m}\).
Kết quả có thể là một đường thẳng đứng không? Có. Khi đoạn thẳng nằm ngang, đường trung trực sẽ thẳng đứng và được viết dưới dạng \(x = \text{hằng số}\) thay vì \(y = mx + b\).
