Qu'est-ce que la diagonale d'un cube ?
Un cube possède deux types de diagonales. La diagonale de face relie deux coins opposés d'une même face carrée, tandis que la diagonale principale (aussi appelée diagonale du corps) traverse l'intérieur du cube en reliant deux sommets diamétralement opposés. Ce calculateur détermine les deux à partir d'une seule donnée : la longueur de l'arête a.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez la longueur de l'arête de votre cube, c'est-à-dire la mesure de l'un quelconque de ses côtés. L'outil affiche aussitôt la diagonale principale comme résultat principal et indique la diagonale de face à côté. Vous pouvez utiliser l'unité de votre choix (cm, pouces, mètres) : les diagonales sont exprimées dans la même unité.
La formule expliquée
La diagonale de face découle du théorème de Pythagore appliqué à une face carrée : $$d = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$$ La diagonale principale prolonge ce raisonnement en trois dimensions en combinant une diagonale de face avec l'arête perpendiculaire : $$d = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = a\sqrt{3}$$ Ainsi, pour tout cube, la diagonale principale vaut toujours \(\sqrt{3} \approx 1{,}732\) fois l'arête, et la diagonale de face vaut \(\sqrt{2} \approx 1{,}414\) fois l'arête.
Exemple concret
Imaginons un cube dont l'arête mesure 5. La diagonale de face est égale à $$5 \times \sqrt{2} = 5 \times 1{,}41421 \approx 7{,}0711$$ La diagonale principale vaut $$5 \times \sqrt{3} = 5 \times 1{,}73205 \approx 8{,}6603$$ Les deux s'expriment dans la même unité que l'arête de départ.
FAQ
Quelle diagonale est la plus longue ? La diagonale principale est toujours plus longue que la diagonale de face, puisque \(\sqrt{3} > \sqrt{2}\).
Peut-on retrouver l'arête à partir d'une diagonale ? Oui : divisez une diagonale principale connue par \(\sqrt{3}\), ou une diagonale de face par \(\sqrt{2}\), pour retrouver la longueur de l'arête.
Cela fonctionne-t-il avec n'importe quelle unité ? Oui. Les formules sont indépendantes de l'unité : le résultat est donné dans l'unité utilisée pour l'arête.
