정육면체의 대각선이란?
정육면체에는 두 종류의 대각선이 있습니다. 면 대각선은 정사각형 면 하나에서 한 꼭짓점과 마주 보는 꼭짓점을 잇는 선이고, 공간 대각선(체대각선이라고도 합니다)은 정육면체 내부를 가로질러 서로 마주 보는 두 꼭짓점을 잇는 선입니다. 이 계산기는 모서리 길이 \(a\) 하나만 입력하면 두 대각선을 모두 구해 줍니다.
계산기 사용법
정육면체의 모서리 길이, 즉 어느 한 변의 길이를 입력하세요. 계산기는 공간 대각선을 메인 결과로 즉시 보여 주고, 그 옆에 면 대각선도 함께 표시합니다. cm, 인치, 미터 등 원하는 단위를 자유롭게 사용할 수 있으며, 대각선 값도 입력한 것과 같은 단위로 나옵니다.
공식 풀이
면 대각선은 정사각형 면 하나에 피타고라스 정리를 적용해 구합니다. $$d = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$$ 입니다. 공간 대각선은 여기에 한 차원을 더해, 면 대각선과 그에 수직인 모서리를 결합한 것입니다. $$d = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = a\sqrt{3}$$ 이 되죠. 따라서 어떤 정육면체든 공간 대각선은 항상 모서리의 \(\sqrt{3} \approx 1.732\)배, 면 대각선은 모서리의 \(\sqrt{2} \approx 1.414\)배입니다.
예제로 보기
모서리 길이가 5인 정육면체를 예로 들어 봅시다. 면 대각선은 $$5 \times \sqrt{2} = 5 \times 1.41421 \approx 7.0711$$ 입니다. 공간 대각선은 $$5 \times \sqrt{3} = 5 \times 1.73205 \approx 8.6603$$ 이고요. 두 값 모두 원래 모서리와 같은 단위를 사용합니다.
자주 묻는 질문
어느 대각선이 더 긴가요? \(\sqrt{3} > \sqrt{2}\) 이므로 공간 대각선이 항상 면 대각선보다 깁니다.
대각선으로 모서리 길이를 구할 수 있나요? 네, 가능합니다. 공간 대각선을 \(\sqrt{3}\)으로 나누거나 면 대각선을 \(\sqrt{2}\)로 나누면 모서리 길이를 되찾을 수 있습니다.
어떤 단위에서도 사용할 수 있나요? 네. 이 공식은 단위와 무관하기 때문에 모서리를 입력한 단위가 무엇이든 결과도 같은 단위로 나옵니다.
