Что делает этот калькулятор
Инструмент находит уравнение прямой, которая перпендикулярна заданной прямой и проходит через указанную точку. Вы вводите угловой коэффициент (\(m\)) исходной прямой и координаты точки (\(x_1\), \(y_1\)), через которую должна пройти новая прямая. Калькулятор возвращает перпендикулярный угловой коэффициент и полное уравнение в виде \(y = mx + b\) (уравнение прямой с угловым коэффициентом).
Как пользоваться
Введите угловой коэффициент исходной прямой, затем координаты x и y точки. Нажмите «Рассчитать». Если исходный наклон равен нулю (горизонтальная прямая), то перпендикуляр будет вертикальной прямой вида \(x = x_1\), поскольку её угловой коэффициент не определён.
Разбор формулы
Две прямые перпендикулярны, когда произведение их угловых коэффициентов равно −1. Значит, перпендикулярный угловой коэффициент — это отрицательная обратная величина: \(m_\perp = -\frac{1}{m}\). Чтобы новая прямая прошла через точку (\(x_1\), \(y_1\)), используем уравнение прямой через точку и наклон:
$$y - y_1 = m_\perp(x - x_1)$$После преобразования получаем вид с угловым коэффициентом \(y = m_\perp x + b\), где свободный член \(b = y_1 - m_\perp \cdot x_1\).
Пример с решением
Пусть исходная прямая имеет угловой коэффициент \(m = 2\), а новая прямая должна пройти через точку (1, 3). Перпендикулярный угловой коэффициент равен $$m_\perp = -\frac{1}{2} = -0{,}5$$ Свободный член: $$b = 3 - (-0{,}5)(1) = 3 + 0{,}5 = 3{,}5$$ Итого перпендикулярная прямая: \(y = -0{,}5x + 3{,}5\).
Частые вопросы
А если исходный наклон равен 0? У горизонтальной прямой (наклон 0) перпендикуляр будет вертикальным и записывается как \(x = x_1\), потому что его угловой коэффициент не определён.
А если исходная прямая вертикальная? У вертикальной прямой угловой коэффициент не определён, а её перпендикуляр горизонтален: \(y = y_1\). Этот калькулятор работает с числовым значением наклона, поэтому случай вертикальной исходной прямой нужно рассматривать отдельно как особый.
Почему угловой коэффициент — это отрицательная обратная величина? Поворот прямой на 90° меняет знак и переворачивает отношение «подъём к смещению», из-за чего произведение двух угловых коэффициентов становится равным −1.
