Калькулятор линейной интерполяции

Введите расчет

x₁

y₁

x₂

y₂

x (значение для интерполяции)

Результатов

Интерполированное значение (y)

6

при введённом x

Наклон (y₂−y₁)/(x₂−x₁)	2

Что такое линейная интерполяция?

Линейная интерполяция — это способ оценить неизвестное значение, лежащее между двумя известными точками, предполагая, что связь между ними описывается прямой линией. Это один из самых распространённых приёмов в инженерных расчётах, статистике, финансах и науке: всякий раз, когда у вас есть таблица значений, а нужное вам число попадает между табличными строками, на помощь приходит интерполяция.

Линейная интерполяция оценивает y на прямой, соединяющей две известные точки.

Как пользоваться калькулятором

Введите координаты двух известных точек: \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\). Затем укажите значение x, для которого хотите получить результат. Калькулятор вычислит интерполированное значение y, а заодно покажет наклон соединяющей точки прямой. Значение x может находиться и за пределами двух точек — в этом случае результат будет линейной экстраполяцией.

Разбор формулы

Формула интерполяции выглядит так: $$y = \text{y}_1 + \left(\text{x} - \text{x}_1\right) \cdot \frac{\text{y}_2 - \text{y}_1}{\text{x}_2 - \text{x}_1}$$ Дробь \(\frac{\text{y}_2 - \text{y}_1}{\text{x}_2 - \text{x}_1}\) — это наклон прямой, проходящей через обе точки. Умножая его на \((x - x_1)\), мы масштабируем наклон в зависимости от того, насколько x отошёл от \(x_1\), а прибавление \(y_1\) сдвигает результат к нужной начальной высоте.

Формула использует наклон (отношение вертикального изменения к горизонтальному) между двумя известными точками.

Пример с расчётом

Допустим, известны точки \((1, 2)\) и \((4, 8)\), а нужно найти y при \(x = 3\). Наклон равен $$\frac{8 - 2}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2.$$ Тогда $$y = 2 + (3 - 1) \times 2 = 2 + 4 = 6.$$ Итак, интерполированное значение равно 6.

Частые вопросы

Может ли x находиться за пределами двух точек? Да. Если x меньше \(x_1\) или больше \(x_2\), формула выполняет линейную экстраполяцию, предполагая, что тенденция продолжается по той же прямой.

Что если x₁ равно x₂? Тогда обе точки имеют одинаковый x, и наклон не определён (деление на ноль). Калькулятор учитывает этот случай и возвращает значение \(y_1\).

Это то же самое, что линия тренда? Это прямая, построенная по двум точкам. Линия тренда (регрессия) строится по множеству точек, тогда как интерполяция использует ровно те две, что вы задали.