線性內插計算器

輸入計算

x₁

y₁

x₂

y₂

x（欲內插的數值）

結果

內插結果 (y)

6

對應所輸入的 x

斜率 (y₂−y₁)/(x₂−x₁)	2

什麼是線性內插？

線性內插（Linear Interpolation）是一種在兩個已知資料點之間，估算未知數值的方法，前提是假設這兩點之間的關係呈一條直線。每當你手上有一張數值表，卻需要查出落在表列項目「中間」的讀數時，這就是工程、統計、財務與科學領域中最常用的技巧之一。

線性插值在連接兩個已知點的直線上估算 \(y\) 值。

如何使用本計算器

請輸入兩個已知點的座標：\((x_1, y_1)\) 與 \((x_2, y_2)\)，接著輸入你想求值的 \(x\)。計算器會回傳內插後的 \(y\) 值，以及連接兩點直線的斜率。\(x\) 值也可以落在兩點之外，此時得到的結果便是「線性外插（extrapolation）」。

公式說明

內插公式為 $$y = y_1 + \left(x - x_1\right) \cdot \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$ 其中 \(\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\) 就是通過兩點的直線斜率；乘上 \(\left(x - x_1\right)\) 代表 \(x\) 從 \(x_1\) 移動了多遠、依此比例放大斜率；最後再加上 \(y_1\)，把結果平移到正確的起始高度。

該公式使用兩個已知點之間的斜率（垂直變化除以水平變化）。

實例演算

假設已知 \((1, 2)\) 與 \((4, 8)\) 兩點，想求 \(x = 3\) 時的 \(y\) 值。斜率為 $$\frac{8 - 2}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2$$ 接著 $$y = 2 + (3 - 1) \times 2 = 2 + 4 = 6$$ 因此內插結果為 6。

常見問題

\(x\) 可以落在兩點之外嗎？ 可以。若 \(x\) 小於 \(x_1\) 或大於 \(x_2\)，公式便會進行線性外插，前提是假設趨勢會沿直線持續延伸。

如果 \(x_1\) 等於 \(x_2\) 會怎樣？ 兩點的 \(x\) 相同，斜率就無法定義（分母為零）。計算器已對此做防護處理，會直接回傳 \(y_1\)。

這跟趨勢線一樣嗎？ 它只是通過兩點的一條直線。回歸趨勢線會用到許多資料點，而內插只用你提供的這兩個點。