선형 보간이란?
선형 보간(linear interpolation)은 알고 있는 두 데이터 점 사이에 있는 미지의 값을, 두 점을 잇는 관계가 직선이라고 가정하여 추정하는 방법입니다. 표로 정리된 값들 사이에서 목록에 없는 중간 값을 읽어내야 할 때, 공학·통계·금융·과학 등 다양한 분야에서 가장 널리 쓰이는 기법 중 하나입니다.
계산기 사용법
먼저 알고 있는 두 점의 좌표 (x₁, y₁)과 (x₂, y₂)를 입력하세요. 그런 다음 값을 구하려는 x를 입력하면 됩니다. 계산기는 보간된 y 값과 함께 두 점을 잇는 직선의 기울기를 함께 보여 줍니다. x 값이 두 점의 범위를 벗어나도 괜찮습니다. 이 경우에는 선형 외삽(extrapolation)으로 결과가 계산됩니다.
공식 풀이
보간 공식은 $$y = \text{y}_1 + \left(\text{x} - \text{x}_1\right) \cdot \frac{\text{y}_2 - \text{y}_1}{\text{x}_2 - \text{x}_1}$$ 입니다. 분수 \(\frac{\text{y}_2 - \text{y}_1}{\text{x}_2 - \text{x}_1}\)는 두 점을 지나는 직선의 기울기입니다. 여기에 \((\text{x} - \text{x}_1)\)을 곱하면 x가 x₁에서 얼마나 떨어져 있는지에 비례해 기울기가 반영되고, 마지막으로 y₁을 더하면 올바른 시작 높이로 결과가 보정됩니다.
예제로 살펴보기
점 (1, 2)와 (4, 8)을 알고 있고, x = 3일 때의 y를 구한다고 가정해 봅시다. 기울기는 \(\frac{8 - 2}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2\) 입니다. 따라서 $$y = 2 + (3 - 1) \times 2 = 2 + 4 = 6$$ 이 됩니다. 즉, 보간된 값은 6입니다.
자주 묻는 질문
x가 두 점의 범위를 벗어나도 되나요? 됩니다. x가 x₁보다 작거나 x₂보다 크면 공식은 선형 외삽을 수행하며, 이는 직선 추세가 그대로 이어진다고 가정합니다.
x₁과 x₂가 같으면 어떻게 되나요? 두 점의 x가 같으면 기울기를 정의할 수 없습니다(0으로 나누기). 계산기는 이 경우를 자동으로 방지하고 y₁을 반환합니다.
추세선과 같은 건가요? 선형 보간은 두 점만으로 그린 직선입니다. 회귀 추세선은 여러 점을 사용하지만, 보간은 입력한 정확히 그 두 점만 사용합니다.
