선형 보간이란?
선형 보간(Linear Interpolation)은 알려진 두 데이터 점 사이에 놓인 미지의 값을 추정하는 방법입니다. 두 점 사이의 관계를 직선으로 가정하기 때문에, 그 사이의 어떤 x값에서든 직선 위의 y값을 바로 읽어낼 수 있습니다. 표로 정리된 값은 있지만 표에 나와 있지 않은 지점의 결과가 필요할 때, 공학·통계·금융·화학·컴퓨터 그래픽 등 거의 모든 분야에서 가장 널리 쓰이는 기법 중 하나입니다.
계산기 사용법
첫 번째로 알고 있는 점을 x₁, y₁에, 두 번째로 알고 있는 점을 x₂, y₂에 입력한 뒤, y값을 추정하고 싶은 목표 x를 입력하세요. 계산기는 보간된 y값과 함께 두 점을 잇는 직선의 기울기를 알려줍니다. 목표 x는 보통 x₁과 x₂ 사이에 위치하지만, 동일한 공식으로 그 범위 밖의 값을 외삽(extrapolation)할 수도 있습니다.
공식 풀이
공식은 다음과 같습니다.
$$y = \text{y}_1 + \left(\text{x} - \text{x}_1\right) \cdot \frac{\text{y}_2 - \text{y}_1}{\text{x}_2 - \text{x}_1}$$여기서 \(\frac{\text{y}_2 - \text{y}_1}{\text{x}_2 - \text{x}_1}\) 항은 두 점을 잇는 직선의 기울기입니다. 이 기울기에 수평 거리 \((\text{x} - \text{x}_1)\)을 곱하면 y₁로부터의 수직 변화량이 나오고, 이를 다시 y₁에 더하면 x 지점의 값이 됩니다. 만약 x₂와 x₁이 같으면 직선이 수직이 되어 보간을 정의할 수 없으므로, 이 계산기는 0으로 나누는 상황을 방지하도록 설계되어 있습니다.
예제로 살펴보기
x₁ = 1일 때 값이 y₁ = 2이고, x₂ = 3일 때 값이 y₂ = 6이라고 가정해 봅시다. 그렇다면 x = 2일 때 y는 얼마일까요? 기울기는 \(\frac{6 - 2}{3 - 1} = 2\) 입니다. 따라서 다음과 같습니다.
$$y = 2 + (2 - 1) \times 2 = 4$$보간된 값은 4입니다.
자주 묻는 질문
두 점의 범위를 벗어나는 외삽도 가능한가요? 네 — 범위 밖의 x를 입력해도 동일한 공식이 적용됩니다. 다만 외삽은 보간보다 신뢰도가 낮다는 점에 유의하세요.
데이터가 선형이 아니라면 어떻게 되나요? 선형 보간은 어디까지나 근사값을 제공합니다. 곡선 형태의 데이터라면 두 점을 최대한 가깝게 잡거나, 다항식 또는 스플라인(spline) 보간법을 사용하는 것이 좋습니다.
기울기는 왜 함께 표시되나요? 기울기는 두 점 사이의 변화율을 나타내며, 데이터 추세의 방향을 확인하는 데 도움이 됩니다.
