前 n 個立方和計算器

輸入計算

項數 (n)

結果

Sum of the first 10 cubes

3,025

Σ k³ for k = 1 to 10

項數 (n)	10
三角形數 n(n+1)/2	55
恆等式	(n(n+1)/2)²

這個計算器的功能

本工具可計算前 n 個完全立方數之和，也就是 \(1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + n^3\)。不必逐項相加，它運用一條著名的封閉公式，無論 n 多大，都能立刻給出精確答案。

使用方式

在項數 n 欄位輸入一個正整數，即可讀取結果。計算器同時會顯示對應的三角形數 \(n(n+1)/2\)，讓你清楚看到答案是如何推導出來的。

公式解析

核心結果就是著名的 尼科馬庫斯恆等式（Nicomachus identity）：

$$\sum_{k=1}^{n} k^{3} = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^{2}$$

奇妙的是，前 n 個立方數之和，恰好等於前 n 個整數之和的平方。式中的 \(n(n+1)/2\) 即第 n 個三角形數 \(T(n)\)，因此立方和就是 \(T(n)\) 的平方。如此一來，運算複雜度只需 \(O(1)\)，不必使用迴圈，而且對整數輸入永遠精確無誤。

前 n 個立方數之和等於第 n 個三角形數的平方，即 \(\left(n(n+1)/2\right)^2\)。

實例演算

以 \(n = 4\) 為例：三角形數為 \(4 \times 5 / 2 = 10\)，平方後得 \(10^2 = 100\)。直接驗算：\(1 + 8 + 27 + 64 = 100\)。兩者結果一致，驗證了這條恆等式。

常見問題

只適用於整數嗎？ 是的。此恆等式針對 \(k = 1\) 到 n 的整數項求和，因此 n 必須是正整數。

為什麼答案一定是完全平方數？ 因為總和等於 \(T(n)^2\)，其中 \(T(n)\) 是第 n 個三角形數；整數的平方必然是完全平方數。

n 可以非常大嗎？ 可以。由於採用封閉公式，即使 n 很大也能瞬間算出，不過數值極大時可能超出一般浮點數的精度範圍。