この計算機でできること
このツールは、最初のn個の立方数の和、つまり \(1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3\) を計算します。各項を1つずつ足していく必要はありません。有名な「閉じた公式（クローズドフォーム）」を使うことで、nがどれだけ大きくても正確な答えを一瞬で導き出します。
使い方
項数nに正の整数を入力すると、結果が表示されます。さらに、答えの土台となる三角数 \(n(n+1)/2\) も同時に表示されるので、どのように計算が組み立てられているかがひと目で分かります。
公式の解説
カギとなるのがニコマコスの定理です。
$$\sum_{k=1}^{n} k^{3} = \left( \frac{n\left(n+1\right)}{2} \right)^{2}$$
驚くべきことに、最初のn個の立方数の和は、最初のn個の整数の和をちょうど2乗した値に等しくなります。内側の \(n(n+1)/2\) はn番目の三角数 \(T(n)\) です。つまり立方和は、単純に \(T(n)\) を2乗したものというわけです。このおかげで、ループ計算を回す必要がなく、計算量は\(O(1)\)。整数を入力すれば常に正確な値が得られます。
計算例
n = 4 の場合を見てみましょう。三角数は \(4\times5/2 = 10\) です。これを2乗すると \(10^2 = 100\)。実際に直接足してみると、$$1 + 8 + 27 + 64 = 100$$両者は見事に一致し、定理が成り立つことが確認できます。
よくある質問
整数しか使えませんか？ はい。この定理は \(k = 1\) から \(n\) までの整数項の和に適用されるため、nは正の整数である必要があります。
なぜ答えは必ず平方数になるのですか？ 和が \(T(n)^2\)（\(T(n)\) はn番目の三角数）に等しいからです。整数を2乗すれば必ず平方数になります。
nはとても大きな値でも大丈夫ですか？ はい。閉じた公式なので、大きなnでも瞬時に計算できます。ただし、極端に大きな値では通常の浮動小数点演算の精度を超えてしまう場合があります。
