Công cụ này làm gì?
Công cụ này tính tổng lập phương của n số tự nhiên đầu tiên, tức là \(1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3\). Thay vì cộng từng số hạng một, công cụ áp dụng một công thức rút gọn nổi tiếng để cho ra kết quả chính xác ngay tức thì, dù n lớn đến đâu.
Cách sử dụng
Bạn chỉ cần nhập một số nguyên dương cho số lượng số hạng n rồi xem kết quả. Máy tính còn hiển thị thêm số tam giác \(\frac{n(n+1)}{2}\) ở bước trung gian để bạn hình dung được cách kết quả được tạo thành.
Giải thích công thức
Kết quả cốt lõi chính là đẳng thức Nicomachus:
$$\sum_{k=1}^{n} k^{3} = \left( \frac{n\left(n+1\right)}{2} \right)^{2}$$
Điều thú vị là tổng lập phương của n số đầu tiên lại đúng bằng bình phương của tổng n số nguyên đầu tiên. Đại lượng bên trong \(\frac{n(n+1)}{2}\) chính là số tam giác thứ n, ký hiệu \(T(n)\). Như vậy, tổng các lập phương đơn giản là \(T(n)\) bình phương. Nhờ đó, phép tính có độ phức tạp \(O(1)\) mà không cần dùng vòng lặp, và luôn cho kết quả chính xác tuyệt đối với đầu vào là số nguyên.
Ví dụ minh họa
Với \(n = 4\): số tam giác là \(\frac{4\times 5}{2} = 10\). Bình phương lên ta được \(10^2 = 100\). Kiểm tra trực tiếp: \(1 + 8 + 27 + 64 = 100\). Hai cách cho cùng kết quả, khẳng định đẳng thức là đúng.
Câu hỏi thường gặp
Công thức này chỉ áp dụng cho số nguyên thôi sao? Đúng vậy — đẳng thức này tính tổng các số hạng nguyên từ \(k = 1\) đến \(n\), nên n phải là một số nguyên dương.
Vì sao kết quả luôn là một số chính phương? Bởi vì tổng bằng \(T(n)^2\), trong đó \(T(n)\) là số tam giác thứ n; mà bình phương của một số nguyên thì luôn là số chính phương.
n có thể rất lớn được không? Hoàn toàn được. Vì đây là công thức rút gọn nên ngay cả khi n rất lớn, kết quả vẫn được tính tức thì, dù với những giá trị quá lớn thì có thể vượt quá độ chính xác của số thực dấu phẩy động tiêu chuẩn.
