Tổng và hiệu hai lập phương là gì?
Trong đại số, hai hằng đẳng thức được dùng nhiều nhất chính là tổng hai lập phương và hiệu hai lập phương. Chúng cho phép bạn viết lại một biểu thức có dạng \(a^{3} \pm b^{3}\) thành tích của một nhân tử bậc nhất đơn giản và một tam thức bậc hai. Công cụ này phân tích mọi cặp giá trị a và b cho cả hai phép tính, đồng thời hiển thị từng bước trung gian để bạn dễ dàng đối chiếu lại bài làm của mình.
Các công thức
Hai hằng đẳng thức như sau:
Tổng hai lập phương:
$$a^{3} + b^{3} = \left(a + b\right)\left(a^{2} - a\,b + b^{2}\right)$$Hiệu hai lập phương:
$$a^{3} - b^{3} = \left(a - b\right)\left(a^{2} + a\,b + b^{2}\right)$$Một mẹo dễ nhớ là quy tắc "SOAP" (trong tiếng Anh): dấu của dạng đã phân tích lần lượt là Same (Giống), Opposite (Ngược), Always Positive (Luôn dương). Nghĩa là dấu đầu tiên giống dấu của biểu thức gốc, dấu ở giữa thì ngược lại, còn số hạng cuối cùng luôn mang dấu dương.
Cách sử dụng máy tính
Bạn nhập số hạng thứ nhất a và số hạng thứ hai b, chọn xem mình đang phân tích tổng hay hiệu, rồi máy tính sẽ trả về nhân tử bậc nhất \((a \pm b)\), tam thức bậc hai \((a^{2} \mp a\,b + b^{2})\) và giá trị số của toàn bộ biểu thức. Bảng phân tích còn liệt kê riêng từng giá trị \(a^{3}\), \(b^{3}\), \(a^{2}\), \(a\,b\) và \(b^{2}\).
Ví dụ minh họa
Hãy phân tích \(8 + 27\) dưới dạng tổng hai lập phương. Ở đây \(a = 2\) (vì \(2^{3} = 8\)) và \(b = 3\) (vì \(3^{3} = 27\)). Khi đó
$$a^{3} + b^{3} = (2 + 3)(2^{2} - 2\cdot 3 + 3^{2}) = (5)(4 - 6 + 9) = 5 \times 7 = 35,$$đúng bằng \(8 + 27 = 35\). Nhân tử bậc nhất là \(5\) và tam thức bậc hai là \(7\).
Câu hỏi thường gặp
Tam thức có phân tích thêm được nữa không? Thường là không — trong hầu hết trường hợp, tam thức bậc hai \(a^{2} \mp a\,b + b^{2}\) là đa thức bất khả quy trên tập số nguyên.
Nếu a hoặc b là biến thì sao? Hằng đẳng thức vẫn đúng về mặt ký hiệu; công cụ này tính giá trị số nên bạn có thể dùng nó để kiểm tra lại kết quả phân tích.
Có dùng được với số âm hoặc số thập phân không? Có. Máy chấp nhận mọi số thực cho a và b.
