घनों का योग और अंतर क्या है?
बीजगणित की दो सबसे काम आने वाली सर्वसमिकाएँ हैं — घनों का योग और घनों का अंतर। इनकी मदद से \(a^{3} \pm b^{3}\) रूप के किसी भी व्यंजक को एक सरल रैखिक गुणनखंड और एक द्विघात त्रिपद के गुणनफल के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। यह कैलकुलेटर किसी भी दोनों ऑपरेशन के लिए a और b के मानों का गुणनखंडन करता है और हर बीच का हिस्सा दिखाता है, ताकि आप अपना हल खुद जाँच सकें।
सूत्र
दोनों सर्वसमिकाएँ इस प्रकार हैं:
घनों का योग:
$$a^{3} + b^{3} = \left(a + b\right)\left(a^{2} - a\,b + b^{2}\right)$$घनों का अंतर:
$$a^{3} - b^{3} = \left(a - b\right)\left(a^{2} + a\,b + b^{2}\right)$$इसे याद रखने का आसान तरीका है "SOAP": गुणनखंडित रूप के चिह्न होते हैं — Same (समान), Opposite (विपरीत), Always Positive (हमेशा धनात्मक)। पहला चिह्न मूल व्यंजक जैसा ही रहता है, बीच का चिह्न उसका विपरीत होता है, और आखिरी पद हमेशा धनात्मक होता है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
अपना पहला पद a और दूसरा पद b डालें, चुनें कि आप योग का गुणनखंडन कर रहे हैं या अंतर का, और कैलकुलेटर आपको रैखिक गुणनखंड \(\left(a \pm b\right)\), त्रिपद गुणनखंड \(\left(a^{2} \mp a\,b + b^{2}\right)\) और पूरे व्यंजक का संख्यात्मक मान दे देगा। विवरण तालिका में \(a^{3}\), \(b^{3}\), \(a^{2}\), \(a\,b\) और \(b^{2}\) अलग-अलग दर्शाए जाते हैं।
हल किया हुआ उदाहरण
\(8 + 27\) का घनों के योग के रूप में गुणनखंडन कीजिए। यहाँ \(a = 2\) (क्योंकि \(2^{3} = 8\)) और \(b = 3\) (क्योंकि \(3^{3} = 27\))। तब
$$a^{3} + b^{3} = \left(2 + 3\right)\left(2^{2} - 2\cdot 3 + 3^{2}\right) = \left(5\right)\left(4 - 6 + 9\right) = 5 \times 7 = 35,$$जो \(8 + 27 = 35\) के बराबर है। रैखिक गुणनखंड 5 है और त्रिपद गुणनखंड 7 है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्या त्रिपद का और गुणनखंडन हो सकता है? आमतौर पर नहीं — द्विघात \(a^{2} \mp a\,b + b^{2}\) ज़्यादातर मामलों में पूर्णांकों पर अभाज्य (prime) होता है।
अगर a या b कोई चर (variable) हो तो? सर्वसमिका तब भी प्रतीकात्मक रूप से लागू रहती है; यह टूल संख्यात्मक मानों का मूल्यांकन करता है ताकि आप अपने गुणनखंडन की पुष्टि कर सकें।
क्या यह ऋणात्मक या दशमलव संख्याओं के साथ काम करता है? हाँ। a और b के लिए कोई भी वास्तविक संख्या स्वीकार की जाती है।
