立方和與立方差因式分解計算器

輸入計算

第一項 (a)

第二項 (b)

運算 Sum of cubes (a³ + b³) Difference of cubes (a³ − b³)

結果

式子的運算結果

35

分解為 (a ± b)(a² ∓ ab + b²)

一次因式 (a ± b)	5
二次三項式因式 (a² ∓ ab + b²)	7
a³	8
b³	27
a²	4
ab	6
b²	9

什麼是立方和與立方差？

在代數恆等式中，立方和與立方差是最實用的兩個公式。它們能把形如 \(a^3 \pm b^3\) 的式子改寫成「一次因式 × 二次三項式」的乘積。這個計算器可針對任意一組 a 與 b、不論是加法還是減法，完成因式分解，並逐項列出計算過程，讓你輕鬆對照、檢查自己的演算。

公式

這兩個恆等式分別是：

立方和：

$$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$$

立方差：

$$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$$

記憶口訣可用英文「SOAP」來幫忙：因式分解後的三個符號依序是 Same（相同）、Opposite（相反）、Always Positive（永遠為正）。也就是說，第一個符號與原式相同、中間符號相反、最後一項則永遠是正號。

兩個立方公式都能分解為一個二項式與一個三項式的乘積。

如何使用本計算器

輸入第一項 a 與第二項 b，選擇要分解的是立方和還是立方差，計算器便會回傳一次因式 \((a \pm b)\)、二次三項式因式 \((a^2 \mp ab + b^2)\)，以及整個式子的運算結果。明細表格還會分別列出 \(a^3\)、\(b^3\)、\(a^2\)、\(ab\) 與 \(b^2\) 的數值。

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範例解析

以立方和分解 8 + 27。這裡 \(a = 2\)（因為 \(2^3 = 8\)）、\(b = 3\)（因為 \(3^3 = 27\)）。於是 $$a^3 + b^3 = (2 + 3)(2^2 - 2\cdot 3 + 3^2) = (5)(4 - 6 + 9) = 5 \times 7 = 35,$$ 正好等於 \(8 + 27 = 35\)。其中一次因式為 5，二次三項式因式為 7。

常見問題

二次三項式還能再分解嗎？通常不行——在多數情況下，二次式 \(a^2 \mp ab + b^2\) 在整數範圍內是不可再分解的質式。

如果 a 或 b 是變數怎麼辦？這個恆等式在符號運算上依然成立；本工具是針對數值求值，方便你驗證因式分解的結果。

可以輸入負數或小數嗎？可以。a 與 b 接受任何實數。