對稱軸計算機

輸入計算

係數 a

係數 b

係數 c

結果

對稱軸

x = 2

垂直線 x = −b/(2a)

對稱軸	x = 2
頂點	( 2 , -1 )

什麼是對稱軸？

任何由二次函數 \(y = ax^2 + bx + c\) 所描述的拋物線，都存在一條垂直線，能將它分成左右對稱、互為鏡像的兩半。這條線就稱為對稱軸，而且它必定會通過拋物線的頂點（也就是曲線的轉折點）。這個計算機可以直接從三個係數，幫你算出這條對稱軸與頂點的位置。

對稱軸是過頂點的垂直線，使拋物線左右對稱。

使用方法

把方程式 \(y = ax^2 + bx + c\) 中的係數 a、b、c 分別填入欄位即可。請注意係數 a 不可以為零（否則方程式會變成一條直線）。計算機會以 \(x =\) 某個數值的形式，回傳對稱軸，並一併附上完整的頂點座標。

公式解析

對稱軸的求法如下：

$$x = -\frac{b}{2a}$$

這個公式來自對二次式進行「配方法」：能讓 \(ax^2 + bx + c\) 達到最小值（或最大值）的 x 座標，正好就是 \(-\frac{b}{2a}\)。把這個 x 值代回原方程式，就能求出頂點的 y 值。

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拋物線上的每個點都有一個到對稱軸等距的鏡像點。

範例演練

以 \(y = x^2 - 4x + 3\) 為例，此時 \(a = 1\)、\(b = -4\)、\(c = 3\)。

$$x = -\frac{-4}{2 \times 1} = \frac{4}{2} = 2$$

所以對稱軸為 \(x = 2\)。再算頂點的 y 值：

$$1(2)^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$$

因此頂點座標為 \((2, -1)\)。

常見問題

如果 \(a = 0\) 會怎樣？此時方程式變成一次（線性）函數，而不是二次函數，因此沒有對稱軸——計算機會提醒你這一點。

對稱軸和頂點是同一個東西嗎？並不完全相同：對稱軸是一條垂直線（一個 \(x =\) 數值的方程式），而頂點則是這條線與拋物線相交的那一個點。

常數 c 會影響對稱軸嗎？不會。改變 c 只會讓拋物線整體上移或下移，並不會移動對稱軸；對稱軸只取決於 a 和 b。