대칭축이란?
이차함수 \(y = ax^2 + bx + c\)로 나타내는 모든 포물선에는 그래프를 좌우 거울상으로 정확히 둘로 나누는 수직선이 존재합니다. 이 선을 대칭축이라고 하며, 대칭축은 언제나 포물선의 꼭짓점(방향이 바뀌는 지점)을 지나갑니다. 이 계산기는 세 개의 계수만으로 대칭축은 물론 꼭짓점까지 한 번에 구해 줍니다.
사용 방법
식 \(y = ax^2 + bx + c\)에서 계수 \(a\), \(b\), \(c\)를 입력하세요. 이때 계수 a는 0이 아니어야 합니다(a가 0이면 식이 직선이 되기 때문입니다). 계산기는 대칭축을 x = (값) 형태로 보여 주고, 꼭짓점 좌표도 함께 알려 줍니다.
공식 풀이
대칭축은 다음 공식으로 구합니다.
$$x = -\dfrac{\text{Coefficient } b}{2\,\text{Coefficient } a}$$
이 공식은 이차식을 완전제곱식으로 변형하는 과정에서 나옵니다. \(ax^2 + bx + c\)를 최소(또는 최대)로 만드는 x좌표가 바로 \(-\dfrac{b}{2a}\)이기 때문입니다. 이 x값을 다시 원래 식에 대입하면 꼭짓점의 y값을 얻을 수 있습니다.
예제로 알아보기
\(y = x^2 - 4x + 3\)을 예로 들어 보겠습니다. 여기서 \(a = 1\), \(b = -4\), \(c = 3\)입니다.
$$x = -\frac{-4}{2 \times 1} = \frac{4}{2} = 2$$
가 되어 대칭축은 \(x = 2\)입니다. 꼭짓점의 y값은 \(1(2)^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1\)이므로, 꼭짓점은 \((2, -1)\)입니다.
자주 묻는 질문
a = 0이면 어떻게 되나요? 그러면 식이 이차식이 아니라 일차식(직선)이 되므로 대칭축이 존재하지 않습니다. 이 경우 계산기가 안내 메시지를 보여 줍니다.
대칭축과 꼭짓점은 같은 건가요? 정확히는 다릅니다. 대칭축은 수직선(x = 값 형태의 방정식)이고, 꼭짓점은 그 수직선이 포물선과 만나는 단 하나의 점입니다.
상수항 c도 대칭축에 영향을 주나요? 아니요. c를 바꾸면 포물선이 위아래로 이동할 뿐, 대칭축은 움직이지 않습니다. 대칭축은 오직 a와 b에만 의해 결정됩니다.
