ما هو محور التماثل؟
كل قطع مكافئ تصفه الدالة التربيعية \(y = ax^2 + bx + c\) يملك خطًا رأسيًا يقسمه إلى نصفين متطابقين كصورة المرآة. هذا الخط يُسمى محور التماثل، وهو يمر دائمًا عبر رأس القطع المكافئ (نقطة الانعطاف). تحسب هذه الأداة هذا الخط — مع نقطة الرأس — مباشرةً انطلاقًا من المعاملات الثلاثة.
طريقة الاستخدام
أدخل المعاملات a وb وc من معادلتك \(y = ax^2 + bx + c\). يجب ألا يساوي المعامل a صفرًا (وإلا تحولت المعادلة إلى خط مستقيم). تُرجع الحاسبة محور التماثل على صورة x = قيمة عددية، إضافةً إلى إحداثيات الرأس كاملة.
شرح القانون
نجد محور التماثل عبر العلاقة التالية:
$$x = -\dfrac{b}{2a}$$
وينتج هذا القانون من إكمال المربع للدالة التربيعية: فالقيمة الأفقية x التي تجعل المقدار \(ax^2 + bx + c\) يبلغ أصغره (أو أكبره) هي بالضبط \(-\dfrac{b}{2a}\). وبالتعويض بهذه القيمة في المعادلة نحصل على إحداثي y للرأس.
مثال محلول
لنأخذ المعادلة \(y = x^2 - 4x + 3\)، حيث \(a = 1\) وb = −4 وc = 3.
$$x = -\frac{-4}{2 \times 1} = \frac{4}{2} = 2$$ إذن محور التماثل هو \(x = 2\). أما قيمة y للرأس فهي $$1(2)^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$$ وبالتالي يكون الرأس عند النقطة (2، −1).
الأسئلة الشائعة
ماذا لو كان a = 0؟ عندها تصبح المعادلة خطية وليست تربيعية، ولا يوجد محور تماثل — وستنبهك الحاسبة إلى ذلك.
هل محور التماثل هو نفسه الرأس؟ ليس تمامًا: محور التماثل خط رأسي (معادلة على صورة x = قيمة)، أما الرأس فهو النقطة الوحيدة على القطع المكافئ التي يعبرها هذا الخط.
هل يؤثر الثابت c في موضع المحور؟ لا. تغيير قيمة c يزيح القطع المكافئ للأعلى أو للأسفل، لكنه لا يحرك محور التماثل الذي يعتمد على a وb فقط.
