対称軸の計算機

結果

対称軸

x = 2

縦の直線 x = −b/(2a)

対称軸	x = 2
頂点	( 2 , -1 )

対称軸とは?

二次関数 $y = ax^2 + bx + c$ で表される放物線には、必ずグラフを左右対称な2つに分ける縦の直線があります。これが対称軸です。対称軸は放物線の頂点（折り返し点）を必ず通ります。この計算機は、3つの係数からその対称軸と頂点を直接求めます。

お手元の式 $y = ax^2 + bx + c$ から、係数 a・b・c を入力してください。係数 a は 0 にはできません（0 にすると式は一次関数の直線になってしまいます）。計算機は対称軸を $x = $ （数値）の形で返し、あわせて頂点の座標もすべて表示します。

対称軸は次の式で求められます。

$$x = -\dfrac{b}{2a}$$

これは二次式を平方完成することで導かれます。$ax^2 + bx + c$ を最小（または最大）にする x 座標が、ちょうど $-b/(2a)$ になるのです。この x を元の式に代入すれば、頂点の y 座標が得られます。

$y = x^2 - 4x + 3$ を例に取ります。係数は $a = 1$、$b = -4$、$c = 3$ です。

$$x = -\frac{-4}{2 \times 1} = \frac{4}{2} = 2$$。よって対称軸は $x = 2$ です。頂点の y 座標は $1(2)^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$ となるので、頂点は $(2, -1)$ です。

a = 0 のときはどうなりますか？ その場合、式は二次関数ではなく一次関数になり、対称軸は存在しません。計算機が警告を表示します。

対称軸と頂点は同じものですか？ 厳密には違います。対称軸は縦の直線（$x = $ 値という式）であるのに対し、頂点はその直線が放物線と交わる、たった1つの点です。

定数項 c は対称軸に影響しますか？ いいえ。c を変えると放物線は上下に動きますが、対称軸は移動しません。対称軸は a と b だけで決まります。