벡터의 크기란?
벡터의 크기는 |v|로 표기하며, 벡터의 시작점(꼬리)에서 끝점(머리)까지 이어지는 직선거리, 즉 벡터의 길이를 뜻합니다. 크기는 언제나 0 이상의 값이며, 벡터가 가리키는 방향과는 전혀 상관이 없습니다. 이 계산기는 2차원 또는 3차원 벡터의 성분값만 입력하면 그 크기를 바로 구해 줍니다.
사용 방법
먼저 벡터가 2D인지 3D인지 선택하세요. 그런 다음 x 성분과 y 성분(3D 벡터라면 z 성분까지)을 입력합니다. 성분값은 양수, 음수, 0 모두 가능합니다. 계산기는 각 성분을 제곱해 모두 더한 뒤, 그 합에 제곱근을 취해 크기를 계산합니다.
공식 풀이
이 공식은 피타고라스 정리를 그대로 확장한 것입니다. 2차원에서는 $$\lvert \vec{v} \rvert = \sqrt{\text{x}^{2} + \text{y}^{2}}$$이고, 3차원에서는 여기에 세 번째 제곱항을 더해 $$\lvert \vec{v} \rvert = \sqrt{\text{x}^{2} + \text{y}^{2} + \text{z}^{2}}$$가 됩니다. 제곱을 하면 음의 부호가 사라지므로 결과는 항상 양수가 됩니다. 계산 과정을 단계별로 확인할 수 있도록 제곱의 합도 결과와 함께 표시됩니다.
예제로 보기
3차원 벡터 \(v = (3, 4, 12)\)를 살펴봅시다. 각 성분을 제곱하면 \(9 + 16 + 144 = 169\)가 됩니다. 따라서 크기는 \(\sqrt{169} = 13\)입니다. 2차원에서 가장 유명한 예는 \((3, 4)\)로, \(9 + 16 = 25\)이므로 \(\lvert \vec{v} \rvert = \sqrt{25} = 5\)가 됩니다.
자주 묻는 질문
크기가 음수가 될 수 있나요? 아니요. 제곱의 합에 제곱근을 취한 값이기 때문에 크기는 언제나 0 또는 양수입니다. 영벡터(zero vector)일 때만 크기가 0이 됩니다.
결과의 단위는 무엇인가요? 크기의 단위는 성분의 단위와 같습니다. x, y, z가 미터(m) 단위라면 크기도 미터(m) 단위입니다.
방향도 영향을 주나요? 아니요. 크기는 오직 길이만을 나타냅니다. 서로 정반대 방향을 가리키는 두 벡터라도 크기는 같을 수 있습니다.
