단위 벡터란?
단위 벡터는 길이(크기)가 정확히 1이면서 원래 벡터와 같은 방향을 가리키는 벡터입니다. 정규화(normalize)란 방향은 그대로 유지하면서 벡터의 길이를 1로 줄이거나 늘리는 과정을 말합니다. 단위 벡터는 크기 없이 순수한 '방향'만 표현할 수 있기 때문에 물리학, 컴퓨터 그래픽스, 로보틱스, 머신러닝 등 거의 모든 분야에서 활용됩니다.
계산기 사용 방법
먼저 벡터의 X 성분과 Y 성분을 입력하세요. 3D 벡터를 다룬다면 Z 성분까지 입력하면 됩니다(2D 벡터라면 Z는 0으로 두세요). 계산기가 벡터의 크기를 구한 뒤 각 성분을 크기로 나누어 단위 벡터 \(\hat{u}\)를 반환합니다.
공식 자세히 알아보기
벡터 \(\vec{a} = (x, y, z)\)에 대해 크기는 \(\lVert \vec{a} \rVert = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}\)로 구합니다. 단위 벡터는 다음과 같으며,
$$\hat{u} = \frac{\vec{a}}{\lVert \vec{a} \rVert}$$이는 각 성분을 크기로 나눈다는 뜻입니다:
$$\hat{u} = \left(\frac{x}{\lVert \vec{a} \rVert},\; \frac{y}{\lVert \vec{a} \rVert},\; \frac{z}{\lVert \vec{a} \rVert}\right)$$그 결과는 항상 \(\lVert \hat{u} \rVert = 1\)을 만족합니다. 단, 영벡터는 크기가 0이므로 정규화할 수 없다는 점에 주의하세요.
예제 풀이
\(\vec{a} = (3, 4, 0)\)을 살펴봅시다. 크기는
$$\sqrt{3^{2} + 4^{2} + 0^{2}} = \sqrt{25} = 5$$입니다. 따라서 단위 벡터는
$$\hat{u} = \left(\frac{3}{5},\; \frac{4}{5},\; \frac{0}{5}\right) = (0.6,\; 0.8,\; 0)$$이 됩니다. 검산해 보면 \(\sqrt{0.6^{2} + 0.8^{2}} = \sqrt{0.36 + 0.64} = \sqrt{1} = 1\)로, 길이가 1임을 확인할 수 있습니다.
자주 묻는 질문(FAQ)
벡터가 영벡터이면 어떻게 되나요? 영벡터 \((0, 0, 0)\)는 크기가 0이라 정규화할 수 없습니다. 0으로 나누는 연산은 정의되지 않으므로, 이 경우 계산기는 각 성분을 0으로 반환합니다.
2D 벡터에도 사용할 수 있나요? 네. Z 성분을 0으로 두기만 하면 공식이 자연스럽게 2D 형태로 줄어듭니다.
단위 벡터도 음수 성분을 가질 수 있나요? 네. 방향이 그대로 보존되기 때문에 원래 벡터가 음의 방향을 가리키면 단위 벡터도 같은 방향을 가리킵니다. 정규화되는 것은 길이뿐이며, 길이만 1로 맞춰집니다.
