완전제곱식으로 원의 중심과 반지름 구하기

계산 입력

D (x의 계수)

E (y의 계수)

F (상수항)

x² + y² + Dx + Ey + F = 0에서 계수를 입력하세요

결과

원의 중심

(3, -4)

Radius r = 4

중심 x = -D/2	3
중심 y = -E/2	-4
r² 값	16
반지름 r	4

이 계산기의 기능

원을 일반형 \(x^{2}+y^{2}+\text{D}\,x+\text{E}\,y+\text{F}=0\)으로 표현하면 중심과 반지름이 한눈에 드러나지 않습니다. 이 계산기는 완전제곱식이라는 대수적 기법을 활용해 방정식을 표준형 \((x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}\)로 바꿔, 중심 \((h, k)\)과 반지름 \(r\)을 곧바로 확인할 수 있게 해줍니다.

사용 방법

방정식에서 세 개의 계수를 그대로 읽어내면 됩니다. \(\text{D}\)는 \(x\)에 곱해진 수, \(\text{E}\)는 \(y\)에 곱해진 수, \(\text{F}\)는 상수항입니다. 부호까지 포함해 각 값을 입력하면 계산기가 중심 좌표와 반지름을 알려줍니다. 만약 \(r^{2}\) 값이 음수라면 그 방정식은 실수 범위에서 존재하는 원이 아니며(점들이 허수), 실제 원을 그릴 수 없습니다.

공식 풀이

완전제곱식은 \(x\) 항과 \(y\) 항을 각각 묶는 것에서 시작합니다: \((x^{2}+\text{D}x)+(y^{2}+\text{E}y)=-\text{F}\). 양변에 \((\text{D}/2)^{2}\)과 \((\text{E}/2)^{2}\)을 더하면 완전제곱이 만들어져 $$\left(x+\frac{\text{D}}{2}\right)^{2}+\left(y+\frac{\text{E}}{2}\right)^{2}=\frac{\text{D}^{2}}{4}+\frac{\text{E}^{2}}{4}-\text{F}$$ 가 됩니다. 이를 표준형과 비교하면 중심은 \((-\text{D}/2, -\text{E}/2)\)이고, 반지름은 우변의 제곱근임을 알 수 있습니다.

$$\begin{gathered} x^{2}+y^{2}+\text{D}\,x+\text{E}\,y+\text{F}=0 \;\Longrightarrow\; (x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2} \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} h &= -\dfrac{\text{D}}{2} \\ k &= -\dfrac{\text{E}}{2} \\ r &= \sqrt{\dfrac{\text{D}^{2}}{4}+\dfrac{\text{E}^{2}}{4}-\text{F}} \end{aligned} \right. \end{gathered}$$

중심 \((-\text{D}/2, -\text{E}/2)\), 반지름 \(r\)인 표준형 원.

예제 풀이

\(x^{2}+y^{2}-6x+8y+9=0\)을 생각해 봅시다. 여기서 \(\text{D}=-6\), \(\text{E}=8\), \(\text{F}=9\)입니다. 중심 \(x=-(-6)/2=3\), 중심 \(y=-8/2=-4\)이므로 중심은 \((3, -4)\)입니다. 이어서 $$r^{2}=\frac{36}{4}+\frac{64}{4}-9=9+16-9=16$$ 이므로 \(r=\sqrt{16}=4\)입니다. 따라서 표준형은 \((x-3)^{2}+(y+4)^{2}=16\)이 됩니다.

완전제곱식으로 만들면 \(\text{D}x\)와 \(\text{E}y\) 항이 완전제곱 이항식으로 바뀝니다.

자주 묻는 질문

\(r^{2}\)이 음수이면 어떻게 되나요? 이 방정식은 실제 원을 나타내지 않습니다. 방정식을 만족하는 실수 점이 존재하지 않기 때문입니다.

\(r^{2}\)이 0이면 어떻게 되나요? "원"이 중심 한 점으로 줄어듭니다. 이를 퇴화된 원 또는 점원(point circle)이라고 부릅니다.

\(x^{2}\)과 \(y^{2}\)의 계수가 1이 아니어도 사용할 수 있나요? 먼저 방정식 전체를 그 공통 계수로 나누어 두 제곱 항의 계수를 1로 만든 다음, \(\text{D}\), \(\text{E}\), \(\text{F}\)를 입력하세요.