この計算ツールでできること
円を 一般形 \(x^{2}+y^{2}+\text{D}x+\text{E}y+\text{F}=0\) で書き表すと、中心と半径がそのままでは読み取れません。この計算ツールは、代数のテクニックである平方完成を使って方程式を 標準形 \((x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}\) に書き換え、中心 \((h, k)\) と半径 \(r\) を一目で分かるようにします。
使い方
方程式から3つの係数をそのまま読み取りましょう。\(\text{D}\) は \(x\) に掛かっている数、\(\text{E}\) は \(y\) に掛かっている数、\(\text{F}\) は定数項です。それぞれの値を（符号を含めて）入力すると、中心の座標と半径が表示されます。\(r^{2}\) の値がマイナスになる場合、その方程式は実数の円を表しません（解は虚数になります）。
公式の解説
平方完成では、まず \(x\) の項どうし、\(y\) の項どうしをまとめます： $$(x^{2}+\text{D}x)+(y^{2}+\text{E}y)=-\text{F}.$$ 両辺に \((\text{D}/2)^{2}\) と \((\text{E}/2)^{2}\) を足すと完全平方の形ができ、 $$\left(x+\frac{\text{D}}{2}\right)^{2}+\left(y+\frac{\text{E}}{2}\right)^{2}=\frac{\text{D}^{2}}{4}+\frac{\text{E}^{2}}{4}-\text{F}$$ となります。これを標準形と見比べると、中心は \(\left(-\dfrac{\text{D}}{2},\,-\dfrac{\text{E}}{2}\right)\)、半径は右辺の平方根であることが分かります。
計算例
\(x^{2}+y^{2}-6x+8y+9=0\) を考えると、\(\text{D}=-6\)、\(\text{E}=8\)、\(\text{F}=9\) です。中心の \(x\) 座標は \(-\dfrac{-6}{2}=3\)、中心の \(y\) 座標は \(-\dfrac{8}{2}=-4\) なので、中心は \((3, -4)\) になります。次に $$r^{2}=\frac{36}{4}+\frac{64}{4}-9=9+16-9=16$$ となり、\(r=\sqrt{16}=4\) です。標準形は \((x-3)^{2}+(y+4)^{2}=16\) と書けます。
よくある質問
\(r^{2}\) がマイナスになったら？ その方程式は実数の円を表しません。条件を満たす実数の点の集まりが存在しないということです。
\(r^{2}\) がゼロになったら？「円」は中心の1点だけにつぶれてしまいます。これを退化した円、または点円と呼びます。
\(x^{2}\) と \(y^{2}\) の係数が1でない場合も使えますか？ まず方程式全体をその共通の係数で割り、2つの平方の項の係数をどちらも1にしてから、\(\text{D}\)・\(\text{E}\)・\(\text{F}\) を入力してください。
