Công cụ này làm gì?
Một đường tròn viết ở dạng tổng quát \(x^{2}+y^{2}+\text{D}\,x+\text{E}\,y+\text{F}=0\) thường che giấu tâm và bán kính của nó. Công cụ này áp dụng kỹ thuật đại số hoàn thành bình phương để chuyển phương trình về dạng chính tắc \((x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}\), nhờ đó bạn nhìn ra ngay tâm \((h, k)\) và bán kính \(r\) chỉ trong nháy mắt.
Cách sử dụng
Bạn chỉ cần đọc trực tiếp ba hệ số từ phương trình của mình: \(\text{D}\) là số đứng trước \(x\), \(\text{E}\) là số đứng trước \(y\), còn \(\text{F}\) là số hạng tự do. Nhập từng giá trị (kèm theo dấu của nó) và công cụ sẽ trả về tọa độ tâm cùng bán kính. Nếu giá trị \(r^{2}\) âm, nghĩa là phương trình không biểu diễn đường tròn thực nào (các điểm là ảo).
Giải thích công thức
Hoàn thành bình phương bắt đầu bằng việc nhóm các số hạng theo \(x\) và theo \(y\): \((x^{2}+\text{D}\,x)+(y^{2}+\text{E}\,y)=-\text{F}\). Cộng thêm \((\text{D}/2)^{2}\) và \((\text{E}/2)^{2}\) vào cả hai vế để tạo thành các bình phương đầy đủ, ta được $$\left(x+\frac{\text{D}}{2}\right)^{2}+\left(y+\frac{\text{E}}{2}\right)^{2}=\frac{\text{D}^{2}}{4}+\frac{\text{E}^{2}}{4}-\text{F}$$ So sánh với dạng chính tắc, ta thấy tâm là \(\left(-\frac{\text{D}}{2}, -\frac{\text{E}}{2}\right)\) và bán kính chính là căn bậc hai của vế phải.
Ví dụ minh họa
Xét phương trình \(x^{2}+y^{2}-6x+8y+9=0\), vậy \(\text{D}=-6\), \(\text{E}=8\), \(\text{F}=9\). Hoành độ tâm \(x=-\frac{-6}{2}=3\) và tung độ tâm \(y=-\frac{8}{2}=-4\), cho ta tâm \((3, -4)\). Tiếp theo $$r^{2}=\frac{36}{4}+\frac{64}{4}-9=9+16-9=16$$ nên \(r=\sqrt{16}=4\). Dạng chính tắc là $$(x-3)^{2}+(y+4)^{2}=16$$
Câu hỏi thường gặp
Nếu \(r^{2}\) âm thì sao? Phương trình không biểu diễn đường tròn thực nào — không có tập điểm thực nào thỏa mãn nó.
Nếu \(r^{2}\) bằng 0 thì sao? "Đường tròn" thu lại thành một điểm duy nhất chính là tâm, gọi là đường tròn suy biến hay đường tròn điểm.
Công cụ có dùng được khi hệ số của \(x^{2}\) và \(y^{2}\) không bằng 1 không? Trước tiên hãy chia toàn bộ phương trình cho hệ số chung đó để cả hai số hạng bình phương đều có hệ số 1, sau đó mới nhập \(\text{D}\), \(\text{E}\) và \(\text{F}\).
