Qué hace esta calculadora
Cuando una circunferencia se escribe en su forma general \(x^{2}+y^{2}+\text{D}\,x+\text{E}\,y+\text{F}=0\), su centro y su radio quedan ocultos. Esta calculadora aplica la técnica algebraica de completar el cuadrado para reescribir la ecuación en la forma canónica \((x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}\), de modo que el centro \((h, k)\) y el radio \(r\) aparecen de un vistazo.
Cómo usarla
Lee directamente los tres coeficientes de tu ecuación: \(\text{D}\) es el número que multiplica a \(x\), \(\text{E}\) el que multiplica a \(y\), y \(\text{F}\) es el término independiente. Introduce cada valor (con su signo correspondiente) y la calculadora te devuelve las coordenadas del centro y el radio. Si el valor de \(r^{2}\) resulta negativo, la ecuación no representa ninguna circunferencia real (los puntos serían imaginarios).
La fórmula explicada
Completar el cuadrado consiste en agrupar los términos en \(x\) y los términos en \(y\): \((x^{2}+\text{D}\,x)+(y^{2}+\text{E}\,y)=-\text{F}\). Al sumar \(\left(\dfrac{\text{D}}{2}\right)^{2}\) y \(\left(\dfrac{\text{E}}{2}\right)^{2}\) en ambos miembros se forman cuadrados perfectos, y se obtiene
$$\left(x+\frac{\text{D}}{2}\right)^{2}+\left(y+\frac{\text{E}}{2}\right)^{2}=\frac{\text{D}^{2}}{4}+\frac{\text{E}^{2}}{4}-\text{F}$$Comparando con la forma canónica se ve que el centro es \(\left(-\dfrac{\text{D}}{2},\,-\dfrac{\text{E}}{2}\right)\) y que el radio es la raíz cuadrada del segundo miembro.
$$\left\{ \begin{aligned} h &= -\frac{\text{D}}{2} \\ k &= -\frac{\text{E}}{2} \\ r &= \sqrt{\frac{\text{D}^{2}}{4}+\frac{\text{E}^{2}}{4}-\text{F}} \end{aligned} \right.$$
Ejemplo resuelto
Tomemos \(x^{2}+y^{2}-6x+8y+9=0\), de donde \(\text{D}=-6\), \(\text{E}=8\) y \(\text{F}=9\). El centro \(x=-\dfrac{-6}{2}=3\) y el centro \(y=-\dfrac{8}{2}=-4\), así que el centro es \((3, -4)\). Después, \(r^{2}=\dfrac{36}{4}+\dfrac{64}{4}-9=9+16-9=16\), por lo que \(r=\sqrt{16}=4\). La forma canónica queda como
$$(x-3)^{2}+(y+4)^{2}=16$$
Preguntas frecuentes
¿Qué pasa si \(r^{2}\) es negativo? La ecuación no describe ninguna circunferencia real: no existe ningún conjunto de puntos reales que la cumpla.
¿Y si \(r^{2}\) es igual a cero? La «circunferencia» se reduce a un único punto situado en el centro; se denomina circunferencia degenerada o circunferencia puntual.
¿Funciona si los coeficientes de \(x^{2}\) e \(y^{2}\) no valen 1? Divide primero toda la ecuación entre ese coeficiente común para que ambos términos al cuadrado tengan coeficiente 1, y luego introduce \(\text{D}\), \(\text{E}\) y \(\text{F}\).
