ماذا تفعل هذه الحاسبة؟
عندما تُكتب الدائرة في الصيغة العامة على شكل \(x^{2}+y^{2}+\text{D}\,x+\text{E}\,y+\text{F}=0\)، فإنها تُخفي مركزها ونصف قطرها. تعتمد هذه الحاسبة على الأسلوب الجبري المعروف باسم إكمال المربع لإعادة كتابة المعادلة في الصيغة القياسية \((x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}\)، لتكشف لك المركز \((h,\,k)\) ونصف القطر \(r\) في لمحة واحدة.
طريقة الاستخدام
اقرأ المعاملات الثلاثة مباشرةً من معادلتك: \(\text{D}\) هو العدد المضروب في \(x\)، و\(\text{E}\) هو العدد المضروب في \(y\)، و\(\text{F}\) هو الحد الثابت. أدخل كل قيمة مع إشارتها (موجبة أو سالبة)، فتُعيد لك الحاسبة إحداثيات المركز ونصف القطر. وإذا جاءت قيمة \(r^{2}\) سالبة، فهذا يعني أن المعادلة لا تمثّل دائرة حقيقية (تكون النقاط تخيّلية).
شرح المعادلة
يقوم إكمال المربع على تجميع حدود \(x\) مع بعضها وحدود \(y\) مع بعضها: \((x^{2}+\text{D}\,x)+(y^{2}+\text{E}\,y)=-\text{F}\). وبإضافة \((\text{D}/2)^{2}\) و\((\text{E}/2)^{2}\) إلى طرفي المعادلة نُكوّن مربعات كاملة، فنحصل على $$\left(x+\frac{\text{D}}{2}\right)^{2}+\left(y+\frac{\text{E}}{2}\right)^{2}=\frac{\text{D}^{2}}{4}+\frac{\text{E}^{2}}{4}-\text{F}.$$ وبمقارنة هذه الصيغة بالصيغة القياسية يتبيّن أن المركز هو \((-\text{D}/2,\,-\text{E}/2)\) وأن نصف القطر هو الجذر التربيعي للطرف الأيمن.
مثال محلول
لنأخذ المعادلة \(x^{2}+y^{2}-6x+8y+9=0\)، إذن \(\text{D}=-6\) و\(\text{E}=8\) و\(\text{F}=9\). يكون إحداثي المركز $$x=-\frac{-6}{2}=3$$ وإحداثي المركز $$y=-\frac{8}{2}=-4,$$ أي أن المركز هو \((3,\,-4)\). ثم $$r^{2}=\frac{36}{4}+\frac{64}{4}-9=9+16-9=16,$$ ومنه \(r=\sqrt{16}=4\). وتكون الصيغة القياسية هي $$(x-3)^{2}+(y+4)^{2}=16.$$
الأسئلة الشائعة
ماذا لو كانت قيمة \(r^{2}\) سالبة؟ عندئذٍ لا تصف المعادلة أي دائرة حقيقية، إذ لا توجد نقاط حقيقية تُحقّقها.
ماذا لو ساوت \(r^{2}\) صفرًا؟ تنكمش «الدائرة» إلى نقطة واحدة عند المركز، وتُسمّى دائرة متلاشية أو دائرة نقطية.
هل تعمل الحاسبة إذا لم يكن معامل \(x^{2}\) و \(y^{2}\) مساويًا للواحد؟ اقسم المعادلة كاملةً على ذلك المعامل المشترك أولًا حتى يصبح معامل كلا الحدّين التربيعيين مساويًا للواحد، ثم أدخل قيم \(\text{D}\) و\(\text{E}\) و\(\text{F}\).
