ماذا تفعل هذه الحاسبة
تجمع هذه الأداة تعبيرين نسبيين أو تطرح أحدهما من الآخر — وهما كسران يكون بسطهما ومقامهما كثيرات حدود في المتغير x. تعيد كتابة الكسرين على مقام مشترك، وتجمع البسطين، وتختزل الناتج إلى تعبير نسبي واحد مبسّط. يُدخل كل تعبير كنسبة من الحدود الخطية، \(\frac{a x + b}{c x + d}\)، وهو ما يشمل الصيغ الأكثر شيوعًا في الجبر: الثوابت البسيطة، والحدود المفردة، والبسوط والمقامات الخطية.
كيفية الاستخدام
بالنسبة للتعبير الأول، اكتب البسط بمعامل x الذي هو a والثابت b، ثم المقام بمعامل x الذي هو c والثابت d. اختر جمع أو طرح، ثم أدخل التعبير الثاني بالطريقة نفسها. لإدخال ثابت بسيط مثل 5، اجعل معامل x يساوي 0 والثابت يساوي 5. تُرجع الحاسبة التعبير المدمج مختزلًا إلى أبسط صورة، مع جدول بمعاملات البسط والمقام (أجزاء x-تربيع وx والثابت).
شرح الصيغة
يُدمج الكسران بكتابتهما على حاصل ضرب مقاميهما (مقام مشترك) وجمع أو طرح البسطين بعد الضرب التبادلي:
$$\frac{a_1 x + b_1}{c_1 x + d_1} \pm \frac{a_2 x + b_2}{c_2 x + d_2} = \frac{(a_1 x + b_1)(c_2 x + d_2) \pm (a_2 x + b_2)(c_1 x + d_1)}{(c_1 x + d_1)(c_2 x + d_2)}$$عندما يتساوى المقامان (أو يكون أحدهما مضاعفًا ثابتًا للآخر) تستخدم الحاسبة هذا المقام الواحد بدلًا من حاصل الضرب، فيبقى الناتج في أبسط صورة. ثم يُختزل أي عدد صحيح يقسم كل معامل من معاملات البسط والمقام.
مثال محلول
اجمع \(\frac{3}{x+2}\) و\(\frac{5}{x-1}\). لا يشترك المقامان في أي عامل مشترك، لذا فإن المقام المشترك هو حاصل ضربهما، \((x+2)(x-1)\):
$$\frac{3}{x+2} + \frac{5}{x-1} = \frac{3(x-1) + 5(x+2)}{(x+2)(x-1)} = \frac{8x + 7}{x^2 + x - 2}$$يتوسع البسط إلى \(3x - 3 + 5x + 10 = 8x + 7\) والمقام إلى \(x^2 + x - 2\). ولأن 8 و7 ومعاملات المقام لا تشترك في أي عامل مشترك، فإن الجواب المبسّط هو \(\frac{8x + 7}{x^2 + x - 2}\).
الأسئلة الشائعة
هل يجب أن يكون المقامان متساويين؟ لا. إذا اختلفا، تضربهما الحاسبة لتكوين مقام مشترك، ثم تدمج البسطين. وإذا تساويا أو كانا متناسبين، تحتفظ بالمقام الواحد فيكون الناتج بالفعل في أبسط صورة.
هل يمكن أن تجعل x المقام مساويًا للصفر؟ نعم، وتُستبعد تلك القيم من المجال. على سبيل المثال، \(\frac{3}{x+2}\) غير معرّف عند \(x = -2\). ويرث التعبير المبسّط القيود نفسها التي للكسور الأصلية.
هل تتعامل مع الحدود التربيعية أو ذات الدرجات الأعلى؟ كل تعبير تُدخله هو نسبة من الحدود الخطية، لكن الناتج المدمج قد يحتوي على حد x-تربيع لأن ضرب مقامين خطيين يعطي حدًا تربيعيًا. أما المدخلات التي تكون بذاتها تربيعية أو أعلى فهي خارج نطاق الأداة.
