ماذا تفعل هذه الحاسبة
تتيح لك هذه الأداة جمع أو طرح تعبيرين نسبيين (كسرين) على الصورة \(a/b \pm c/d\). فهي توحّد المقامات، وتجمع البسطين معًا، ثم تبسّط الكسر الناتج باستخدام القاسم المشترك الأكبر (GCF)، كما تعرض القيمة على هيئة عدد عشري. وتعمل مع أي بسط ومقام من الأعداد الصحيحة، سواء كانت موجبة أو سالبة.
طريقة الاستخدام
أدخل البسط a والمقام b للكسر الأول، ثم اختر عملية الجمع أو الطرح، وبعدها أدخل البسط c والمقام d للكسر الثاني. اضغط على زر الحساب لتظهر لك ثلاث نتائج: الكسر المجمّع قبل التبسيط، والكسر بعد تبسيطه بالكامل، إضافة إلى القيمة العشرية المكافئة.
شرح القاعدة الرياضية
لجمع كسرين أو طرحهما نحتاج إلى مقام مشترك. وأبسط مقام مشترك هو حاصل الضرب \(b \cdot d\). وبإعادة كتابة كل كسر بهذا المقام نحصل على \(a \cdot d\) مقسومًا على \(b \cdot d\)، وعلى \(c \cdot b\) مقسومًا على \(b \cdot d\)، أي أن: $$\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d \pm c \cdot b}{b \cdot d}$$ وللتبسيط، نوجد القاسم المشترك الأكبر للبسط والمقام الجديدين ثم نقسم كليهما عليه. ويُبقى المقام موجبًا حسب العُرف الرياضي المتعارف عليه.
مثال محلول
لنجمع \(1/4\) و\(1/6\). هنا \(a=1\)، \(b=4\)، \(c=1\)، \(d=6\). يكون البسط المجمّع هو $$a \cdot d + c \cdot b = 1 \cdot 6 + 1 \cdot 4 = 10,$$ والمقام المجمّع هو $$b \cdot d = 4 \cdot 6 = 24,$$ فينتج الكسر \(10/24\). والقاسم المشترك الأكبر للعددين 10 و24 هو 2، وبقسمة كليهما على 2 نحصل على \(5/12 \approx 0.4167\).
كيفية جمع أو طرح الكسور يدويًا
لدمج \(\dfrac{a}{b} \pm \dfrac{c}{d}\)، اتبع هذه الخطوات بالترتيب:
- ابحث عن مقام مشترك. أبسط خيار هو الحاصل \(b \cdot d\). بالنسبة للأرقام الأصغر، استخدم المقام المشترك الأصغر (LCD) — المضاعف المشترك الأصغر للعددين \(b\) و \(d\).
- أعد كتابة كل بسط. وسّع كل كسر إلى المقام المشترك: يصبح الأول \(a \cdot d\) والثاني يصبح \(c \cdot b\)، كلاهما فوق \(b \cdot d\).
- اجمع أو اطرح البسط. احتفظ بالمقام المشترك: \(\dfrac{a \cdot d \pm c \cdot b}{b \cdot d}\). المقام لا يتغير في هذه الخطوة.
- ابحث عن العامل المشترك الأكبر (GCF). احسب العامل المشترك الأكبر للبسط والمقام الناتجين.
- اقسم كليهما على العامل المشترك الأكبر. هذا يختزل الكسر إلى أبسط صورة. إذا كان العامل المشترك الأكبر يساوي 1، فإن الكسر مبسط بالفعل.
- احتفظ بالمقام موجبًا. إذا كان المقام سالبًا، اضرب البسط والمقام في \(-1\) بحيث تبقى الإشارة في البسط (على سبيل المثال، اكتب \(\tfrac{-1}{15}\)، وليس \(\tfrac{1}{-15}\)).
- تحويل إلى كسر عشري (اختياري). اقسم البسط المبسط على المقام. الكسور العشرية الدورية (مثل \(0.8\overline{3}\)) دقيقة فقط في صيغة الكسور.
المصطلحات الرئيسية
- البسط
- الرقم العلوي للكسر، مثل \(a\) في \(\tfrac{a}{b}\)؛ فهو يحسب عدد الأجزاء المتساوية المأخوذة.
- المقام
- الرقم السفلي للكسر، مثل \(b\) في \(\tfrac{a}{b}\)؛ يوضح عدد الأجزاء المتساوية التي تشكل كلاً واحداً. لا يمكن أن يكون أبداً صفراً.
- التعبير النسبي / الكسر
- حاصل قسمة كميتين، \(\tfrac{a}{b}\)، حيث المقام ليس صفراً. الكسر العددي هو أبسط نوع من التعابير النسبية.
- المقام المشترك
- مقام مشترك لكسرين أو أكثر، مما يسمح بجمع أو طرح بسطيهما مباشرة. الحاصل \(b \cdot d\) يعمل دائماً.
- المقام المشترك الأصغر (LCD)
- أصغر مقام مشترك — المضاعف المشترك الأصغر للمقامات الأصلية. استخدام المقام المشترك الأصغر يبقي الأرقام صغيرة قدر الإمكان.
- العامل المشترك الأكبر (GCF / GCD)
- أكبر عدد صحيح يقسم البسط والمقام بالضبط. قسمة كليهما على العامل المشترك الأكبر تبسط الكسر في خطوة واحدة.
- الصيغة المبسطة / أبسط صورة
- كسر لا يشترك البسط والمقام فيه في أي عامل مشترك غير 1، وبالتالي لا يمكن اختزاله أكثر.
- المكافئ العشري
- قيمة الكسر المكتوبة بصيغة النظام العشري، يتم الحصول عليها بقسمة البسط على المقام (على سبيل المثال \(\tfrac{7}{12} = 0.58\overline{3}\)).
الأسئلة الشائعة
هل يمكنني استخدام أعداد سالبة؟ نعم. يُسمح باستخدام بسط أو مقام سالب، ويُبقي الناتج على مقام موجب دائمًا.
ماذا لو كانت النتيجة عددًا صحيحًا؟ إذا أصبح المقام بعد التبسيط مساويًا للواحد، فإن الكسر يساوي ذلك العدد الصحيح — فمثلًا \(2/1\) تعني 2.
لماذا لا يكون الكسر المجمّع في أبسط صورة؟ لأن استخدام \(b \cdot d\) كمقام مشترك قد يعطي أعدادًا كبيرة، ولهذا السبب بالتحديد تقوم الحاسبة بعدها بالقسمة على القاسم المشترك الأكبر لتعرض الصورة الأبسط.
