この計算ツールでできること
このツールは、\(a/b \pm c/d\) の形をした2つの有理式（分数）の足し算・引き算を行います。共通の分母（通分）をつくり、分子をまとめたうえで、その結果を最大公約数（GCF）で約分し、さらに小数の値も表示します。分子・分母は正でも負でも、整数であればどんな値でも計算できます。
使い方
まず1つ目の分数の分子 \(a\) と分母 \(b\) を入力し、「足す」か「引く」を選びます。次に2つ目の分数の分子 \(c\) と分母 \(d\) を入力してください。計算ボタンを押すと、約分する前のまとめた分数、約分しきった分数、そして小数での値が表示されます。
計算式の解説
2つの分数をまとめるには、共通の分母が必要です。もっとも単純な共通分母は \(b\) と \(d\) の積、つまり \(b \cdot d\) です。それぞれの分数を \(b \cdot d\) を分母とする形に書き直すと、\(a \cdot d/(b \cdot d)\) と \(c \cdot b/(b \cdot d)\) になります。したがって $$\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d \pm c \cdot b}{b \cdot d}$$ となります。約分するには、新しい分子と分母の最大公約数（GCF）を求め、両方をその値で割ります。なお、分母は慣例として正の値に保ちます。
計算例
\(1/4\) と \(1/6\) を足してみましょう。ここでは \(a=1\)、\(b=4\)、\(c=1\)、\(d=6\) です。まとめた分子は $$a \cdot d + c \cdot b = 1 \cdot 6 + 1 \cdot 4 = 10$$ まとめた分母は $$b \cdot d = 4 \cdot 6 = 24$$ となり、\(10/24\) が得られます。\(10\) と \(24\) の最大公約数は \(2\) なので、両方を \(2\) で割ると \(5/12 \approx 0.4167\) になります。
分数を手で足す、または引く方法
\(\dfrac{a}{b} \pm \dfrac{c}{d}\) を計算するには、次の手順を順番に従ってください：
- 共通分母を見つける。 最も簡単な選択は積 \(b \cdot d\) です。より小さい数のためには、最小公分母（LCD）――\(b\) と \(d\) の最小公倍数――を使用してください。
- 各分子を書き直す。 各分数を共通分母にスケール変換します：最初の分数は \(a \cdot d\) になり、2番目の分数は \(c \cdot b\) になります。どちらも \(b \cdot d\) を分母にします。
- 分子を足す、または引く。 共通分母を保つ：\(\dfrac{a \cdot d \pm c \cdot b}{b \cdot d}\)。この手順では分母は変わりません。
- 最大公約数を見つける。 結果の分子と分母の最大公約数を計算してください。
- 両者を最大公約数で割る。 これにより分数を最簡形に約分します。最大公約数が1の場合、分数は既に簡約されています。
- 分母を正に保つ。 分母が負になった場合、分子と分母の両方に \(-1\) を掛けて、符号が分子にくるようにしてください（例えば \(\tfrac{1}{-15}\) ではなく \(\tfrac{-1}{15}\) と書きます）。
- 小数に変換する（オプション）。 簡約された分子を分母で割ります。循環小数（\(0.8\overline{3}\) のような）は分数の形でのみ正確です。
主要な用語
- 分子
- \(\tfrac{a}{b}\) の \(a\) のような分数の上の数。いくつの等しい部分が取られるかを数えます。
- 分母
- \(\tfrac{a}{b}\) の \(b\) のような分数の下の数。1つの全体を構成する等しい部分の数を示します。これは決してゼロになることはできません。
- 有理式／分数
- 2つの量の商 \(\tfrac{a}{b}\)。分母はゼロではありません。数値分数は最も単純な有理式です。
- 共通分母
- 2つ以上の分数の共有分母。これにより分子を直接足したり引いたりできます。積 \(b \cdot d\) は常に機能します。
- 最小公分母（LCD）
- 最小の共通分母――元の分母の最小公倍数です。LCDを使用することで数値をできるだけ小さく保ちます。
- 最大公約数（GCF / GCD）
- 分子と分母の両方をちょうど割る最大の整数。両者を最大公約数で割ると、1つのステップで分数を簡約します。
- 簡約形／最簡形
- 分子と分母が1以外の共通因数を持たない分数。これ以上は約分できません。
- 小数等価値
- 10進法で書かれた分数の値。分子を分母で割ることで求められます（例えば \(\tfrac{7}{12} = 0.58\overline{3}\)）。
よくある質問
マイナスの数は使えますか？ はい。分子・分母にマイナスを使ってもかまいません。結果は分母が正になるように整えて表示します。
答えが整数になる場合は？ 約分した結果の分母が \(1\) になった場合、その分数はその整数そのものを表します。たとえば \(2/1\) は \(2\) という意味です。
まとめた分数が最も簡単な形になっていないのはなぜ？ 共通分母として \(b \cdot d\) を使うと数が大きくなりがちですが、まさにそのために、このツールは続けて最大公約数で割り、最も簡単な形を表示しています。
