À quoi sert ce calculateur
Cet outil additionne ou soustrait deux expressions rationnelles (fractions) de la forme \(a/b \pm c/d\). Il établit un dénominateur commun, combine les numérateurs, simplifie la fraction obtenue par son plus grand commun diviseur (PGCD) et en donne également la valeur décimale. Il fonctionne avec tous les numérateurs et dénominateurs entiers, qu'ils soient positifs ou négatifs.
Comment l'utiliser
Saisissez le numérateur \(a\) et le dénominateur \(b\) de la première fraction, choisissez Additionner ou Soustraire, puis entrez le numérateur \(c\) et le dénominateur \(d\) de la seconde fraction. Cliquez sur Calculer. Vous obtiendrez la fraction combinée avant simplification, la fraction entièrement simplifiée ainsi que son équivalent décimal.
La formule expliquée
Pour combiner deux fractions, il faut un dénominateur commun. Le dénominateur commun le plus simple est le produit \(b \cdot d\). En réécrivant chaque fraction sur \(b \cdot d\), on obtient \(a \cdot d\) sur \(b \cdot d\) et \(c \cdot b\) sur \(b \cdot d\), soit
$$\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d \pm c \cdot b}{b \cdot d}$$Pour simplifier, on cherche le PGCD du nouveau numérateur et du dénominateur, puis on divise les deux par ce nombre. Par convention, le dénominateur est conservé positif.
Exemple détaillé
Additionnons \(1/4\) et \(1/6\). Ici \(a=1\), \(b=4\), \(c=1\), \(d=6\). Le numérateur combiné est
$$a \cdot d + c \cdot b = 1 \cdot 6 + 1 \cdot 4 = 10$$et le dénominateur combiné est
$$b \cdot d = 4 \cdot 6 = 24$$ce qui donne \(10/24\). Le PGCD de \(10\) et \(24\) est \(2\) : en divisant les deux par \(2\), on obtient \(5/12 \approx 0{,}4167\).
Comment additionner ou soustraire des fractions à la main
Pour combiner \(\dfrac{a}{b} \pm \dfrac{c}{d}\), suivez ces étapes dans l'ordre :
- Trouvez un dénominateur commun. Le choix le plus simple est le produit \(b \cdot d\). Pour les petits nombres, utilisez le plus petit dénominateur commun (PPDC) — le plus petit commun multiple de \(b\) et \(d\).
- Réécrivez chaque numérateur. Mettez à l'échelle chaque fraction au dénominateur commun : la première devient \(a \cdot d\) et la seconde devient \(c \cdot b\), toutes deux sur \(b \cdot d\).
- Additionnez ou soustrayez les numérateurs. Conservez le dénominateur commun : \(\dfrac{a \cdot d \pm c \cdot b}{b \cdot d}\). Le dénominateur ne change pas pendant cette étape.
- Trouvez le PGCD. Calculez le plus grand commun diviseur du numérateur et du dénominateur résultants.
- Divisez les deux par le PGCD. Cela réduit la fraction à sa forme la plus simple. Si le PGCD est 1, la fraction est déjà simplifiée.
- Gardez le dénominateur positif. Si le dénominateur est devenu négatif, multipliez à la fois le numérateur et le dénominateur par \(-1\) afin que le signe se trouve sur le numérateur (par exemple, écrivez \(\tfrac{-1}{15}\), et non \(\tfrac{1}{-15}\)).
- Convertir en nombre décimal (facultatif). Divisez le numérateur simplifié par le dénominateur. Les décimales répétitives (comme \(0.8\overline{3}\)) ne sont exactes que sous forme fractionnaire.
Termes clés
- Numérateur
- Le nombre du haut d'une fraction, comme le \(a\) dans \(\tfrac{a}{b}\) ; il indique combien de parties égales sont prises.
- Dénominateur
- Le nombre du bas d'une fraction, comme le \(b\) dans \(\tfrac{a}{b}\) ; il indique combien de parties égales constituent un tout. Il ne peut jamais être zéro.
- Expression rationnelle / fraction
- Un quotient de deux quantités, \(\tfrac{a}{b}\), où le dénominateur n'est pas zéro. Une fraction numérique est le type d'expression rationnelle le plus simple.
- Dénominateur commun
- Un dénominateur partagé pour deux ou plusieurs fractions, permettant à leurs numérateurs d'être additionnés ou soustraits directement. Le produit \(b \cdot d\) fonctionne toujours.
- Plus petit dénominateur commun (PPDC)
- Le plus petit dénominateur commun — le plus petit commun multiple des dénominateurs d'origine. L'utilisation du PPDC garde les nombres aussi petits que possible.
- Plus grand commun diviseur (PGCD)
- Le plus grand entier qui divise exactement à la fois le numérateur et le dénominateur. Diviser les deux par le PGCD simplifie la fraction en une seule étape.
- Simplifié / forme la plus simple
- Une fraction dans laquelle le numérateur et le dénominateur ne partagent aucun facteur commun autre que 1, de sorte qu'elle ne peut pas être réduite davantage.
- Équivalent décimal
- La valeur de la fraction écrite sous forme de base dix, obtenue en divisant le numérateur par le dénominateur (par exemple \(\tfrac{7}{12} = 0.58\overline{3}\)).
FAQ
Puis-je utiliser des nombres négatifs ? Oui. Les numérateurs ou dénominateurs négatifs sont acceptés ; le résultat conserve toujours un dénominateur positif.
Et si le résultat est un nombre entier ? Si le dénominateur simplifié vaut \(1\), la fraction est égale à ce nombre entier — par exemple, \(2/1\) signifie \(2\).
Pourquoi ma fraction combinée n'est-elle pas sous sa forme la plus simple ? Utiliser \(b \cdot d\) comme dénominateur commun peut donner des nombres plus grands : c'est précisément pour cela que le calculateur divise ensuite par le PGCD afin d'afficher la forme la plus simple.
