À quoi sert cette calculatrice
Cet outil additionne et soustrait une suite de 2 à 10 fractions simples en présentant la solution complète, étape par étape. Choisissez le nombre de fractions, saisissez chaque numérateur et chaque dénominateur, puis indiquez si chaque fraction après la première doit être additionnée ou soustraite. La calculatrice détermine le plus petit dénominateur commun (PPDC), réécrit toutes les fractions sur ce dénominateur, combine les numérateurs, puis simplifie le résultat à sa plus simple expression, en fournissant aussi un nombre fractionnaire et une valeur décimale.
Mode d'emploi
Sélectionnez le nombre de fractions dans la liste déroulante. Saisissez chaque numérateur (qui peut être négatif ou nul) et chaque dénominateur non nul. Pour chaque fraction après la première, choisissez l'opérateur addition ou soustraction. Cliquez sur « Calculer » pour afficher le résultat et le détail des étapes. Un dénominateur égal à zéro est signalé, car la division par zéro n'est pas définie.
La formule expliquée
Chaque opérateur de soustraction est converti en signe appliqué à la fraction suivante, de sorte que toute l'expression devient une somme : $$\text{valeur} = \sum_{i=1}^{k} s_i \cdot \frac{n_i}{d_i} = \frac{\sum_i s_i\, n_i\, (\text{PPDC}/d_i)}{\text{PPDC}}$$ Le PPDC est le plus petit commun multiple de tous les dénominateurs, calculé avec \(\text{ppcm}(a,b)=|a\cdot b|/\text{pgcd}(a,b)\). On multiplie le numérateur et le dénominateur de chaque fraction par \(\text{PPDC}/d\) pour les ramener au dénominateur commun, on additionne les numérateurs obtenus, puis on divise le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur (algorithme d'Euclide) afin de simplifier.
Exemple résolu
Calculons \(-\frac{1}{8} - \frac{1}{16} - \frac{3}{8} + \frac{5}{8}\). Les numérateurs signés sont \(-1, -1, -3, +5\) sur les dénominateurs \(8, 16, 8, 8\). Le PPDC vaut \(16\), avec les multiplicateurs \(2, 1, 2, 2\). Les fractions équivalentes sont \(-\frac{2}{16}, -\frac{1}{16}, -\frac{6}{16}, +\frac{10}{16}\). En additionnant les numérateurs : $$-2 - 1 - 6 + 10 = 1$$ le résultat est donc \(\frac{1}{16}\) (déjà sous forme irréductible), soit \(0{,}0625\) en valeur décimale.
Définitions et Glossaire
- Numérateur
- Le nombre supérieur d'une fraction ; il compte combien de parties égales sont prises. Dans \( \tfrac{3}{8} \) le numérateur est 3.
- Dénominateur
- Le nombre inférieur d'une fraction ; il indique combien de parties égales constituent un tout. Dans \( \tfrac{3}{8} \) le dénominateur est 8. Il ne peut jamais être 0.
- Plus petit dénominateur commun (PPDC)
- Le plus petit nombre positif qui est un multiple commun de tous les dénominateurs dans un ensemble de fractions. Il est égal au plus petit commun multiple (PPCM) de ces dénominateurs et est le dénominateur auquel vous convertissez chaque fraction avant d'ajouter ou de soustraire.
- Plus petit commun multiple (PPCM)
- Le plus petit entier positif qui est divisible par chacun de deux ou plusieurs entiers donnés. Par exemple, \( \operatorname{ppcm}(4,6)=12 \). Le PPDC des fractions est le PPCM de leurs dénominateurs.
- Plus grand commun diviseur (PGCD)
- Le plus grand entier positif qui divise deux ou plusieurs entiers sans reste, aussi appelé le plus grand commun facteur (PGCF). Par exemple, \( \gcd(12,8)=4 \). Diviser le numérateur et le dénominateur d'une fraction par leur PGCD la réduit aux termes les plus bas.
- Fraction équivalente
- Une fraction qui représente la même valeur qu'une autre, obtenue en multipliant ou en divisant le numérateur et le dénominateur par le même nombre non nul. Par exemple, \( \tfrac{1}{2}=\tfrac{15}{30} \).
- Termes les plus bas
- Une fraction dans laquelle le numérateur et le dénominateur ne partagent aucun facteur commun supérieur à 1, c'est-à-dire \( \gcd(\text{numérateur},\text{dénominateur})=1 \). Aussi appelée forme simplifiée.
- Fraction impropre
- Une fraction dont le numérateur est supérieur ou égal à son dénominateur, donc sa valeur est 1 ou plus, comme \( \tfrac{53}{30} \).
- Nombre mixte
- Un nombre écrit comme une partie entière plus une fraction propre, comme \( 1\tfrac{23}{30} \) ; c'est une autre façon d'exprimer une fraction impropre.
FAQ
Puis-je saisir des fractions négatives ? Oui. Le signe de la première fraction provient de son numérateur, tandis que les fractions suivantes combinent l'opérateur choisi avec le signe de leur numérateur.
Que se passe-t-il si mon résultat est une fraction impropre ? Les résultats impropres comme \(\frac{7}{4}\) sont affichés sous forme de nombre fractionnaire (\(1\,\frac{3}{4}\)) à côté de la fraction et de la valeur décimale.
Pourquoi mon résultat s'affiche-t-il comme un nombre entier ? Lorsque le dénominateur simplifié devient égal à 1, la valeur est un entier et s'affiche sans dénominateur.
