Калькулятор сложения и вычитания дробей (с пошаговым решением)

Сокращённый числитель	1
Сокращённый знаменатель	16
Наименьший общий знаменатель	16

Что делает этот калькулятор

Этот инструмент складывает и вычитает цепочку из 2–10 обыкновенных дробей и показывает полное пошаговое решение. Выберите нужное количество дробей, введите числитель и знаменатель каждой и укажите, прибавляется или вычитается каждая дробь, начиная со второй. Калькулятор находит наименьший общий знаменатель (НОЗ), приводит к нему все дроби, складывает числители и сокращает результат до несократимого вида, а также выдаёт смешанное число и десятичную запись.

Как пользоваться

Выберите количество дробей в выпадающем списке. Введите каждый числитель (он может быть отрицательным или равным нулю) и каждый ненулевой знаменатель. Для каждой дроби после первой выберите оператор прибавить или вычесть. Нажмите «Вычислить», чтобы увидеть ответ и пошаговый разбор. Нулевые знаменатели подсвечиваются, поскольку деление на ноль не определено.

Как работает формула

Каждый знак вычитания превращается в знак минус у следующей дроби, так что всё выражение становится суммой: $$\text{value} = \sum_{i=1}^{k} s_i \cdot \frac{n_i}{d_i} = \frac{\sum_i s_i\, n_i\, (\text{LCD}/d_i)}{\text{LCD}}$$ НОЗ — это наименьшее общее кратное всех знаменателей, которое вычисляется по формуле $\text{НОК}(a,b)=|a\cdot b|/\text{НОД}(a,b)$. Умножьте числитель и знаменатель каждой дроби на $\text{НОЗ}/d$, чтобы привести их к общему знаменателю, сложите получившиеся числители, а затем разделите числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (алгоритм Евклида) для сокращения.

Три дроби, приведённые к общему знаменателю и объединённые в одну дробь — Переписываем каждую дробь к наименьшему общему знаменателю, затем складываем и вычитаем числители.

Разбор примера

Вычислим $-\frac{1}{8} - \frac{1}{16} - \frac{3}{8} + \frac{5}{8}$. Числители со знаком — это $-1, -1, -3, +5$ над знаменателями $8, 16, 8, 8$. НОЗ равен $16$, множители — $2, 1, 2, 2$. Приведённые дроби: $-\frac{2}{16}, -\frac{1}{16}, -\frac{6}{16}, +\frac{10}{16}$. Складываем числители: $$-2 - 1 - 6 + 10 = 1$$ значит результат равен $\frac{1}{16}$ (уже в несократимом виде), или $0{,}0625$ в десятичной записи.

Круговые диаграммы с половинами и четвертями, объединёнными в сумму — Представляем разобранный пример как закрашенные дольки круга, которые складывают и вычитают.

Частые вопросы

Можно ли вводить отрицательные дроби? Да. Знак первой дроби определяется её числителем, а у последующих дробей знак складывается из выбранного оператора и знака числителя.

Что делать, если ответ — неправильная дробь? Неправильные дроби, например $\frac{7}{4}$, показываются в виде смешанного числа ($1\,\frac{3}{4}$) рядом с дробью и десятичной записью.

Почему мой результат выглядит как целое число? Когда сокращённый знаменатель становится равным 1, значение является целым и отображается без знаменателя.

Определения и глоссарий

Числитель: Верхнее число дроби; оно показывает, сколько равных частей взято. В $ \tfrac{3}{8} $ числитель равен 3.
Знаменатель: Нижнее число дроби; оно показывает, сколько равных частей составляют одно целое. В $ \tfrac{3}{8} $ знаменатель равен 8. Он никогда не может быть равен 0.
Наименьший общий знаменатель (НОЗ): Наименьшее положительное число, которое является общим кратным всех знаменателей набора дробей. Оно равно наименьшему общему кратному (НОК) этих знаменателей и является знаменателем, на который вы приводите все дроби перед сложением или вычитанием.
Наименьшее общее кратное (НОК): Наименьшее положительное целое число, которое делится нацело на каждое из двух или более заданных целых чисел. Например, $ \operatorname{lcm}(4,6)=12 $. НОЗ дробей равен НОК их знаменателей.
Наибольший общий делитель (НОД): Наибольшее положительное целое число, которое делит два или более целых числа без остатка, также называется наибольший общий множитель. Например, $ \gcd(12,8)=4 $. Деление числителя и знаменателя дроби на их НОД приводит её к несократимому виду.
Эквивалентная дробь: Дробь, которая представляет то же значение, что и другая дробь, получаемая путём умножения или деления числителя и знаменателя на одно и то же ненулевое число. Например, $ \tfrac{1}{2}=\tfrac{15}{30} $.
Несократимый вид: Дробь, у которой числитель и знаменатель не имеют общих делителей, больших чем 1, то есть $ \gcd(\text{числитель},\text{знаменатель})=1 $. Также называется простейшим видом.
Неправильная дробь: Дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю, поэтому её значение равно 1 или больше, например $ \tfrac{53}{30} $.
Смешанное число: Число, записанное как целая часть плюс правильная дробь, например $ 1\tfrac{23}{30} $; это альтернативный способ представления неправильной дроби.