複数分数の加減計算機(途中式つき)｜分数の足し算・引き算

約分後の分子	1
約分後の分母	16
最小公倍数(共通分母)	16

この計算機でできること

このツールは、2〜10個の分数をつなげて足し算・引き算し、その解答と計算過程をすべて表示します。まず分数の個数を選び、それぞれの分子と分母を入力し、2番目以降の分数について足すか引くかを指定するだけ。あとは計算機が最小公倍数(通分するための共通分母)を求め、すべての分数を通分し、分子を合算したうえで、結果を既約分数まで約分します。さらに帯分数と小数でも答えを表示します。

使い方

まずプルダウンから分数の個数を選びます。各分数の分子(負の数や0でも可)と、0以外の分母を入力してください。2番目以降の分数には、足す(+)か引く(−)かの演算子を選びます。計算ボタンを押すと、答えとともにステップごとの解説が表示されます。0で割ることはできないため、分母に0を入れた場合はエラーとして表示されます。

計算の仕組み

引き算の演算子は、その次にくる分数の符号として扱われます。こうすることで、式全体が「符号つき分数の足し算」になります($\text{value} = \sum s_i \cdot n_i/d_i$)。共通分母(LCD)は、すべての分母の最小公倍数で、$\operatorname{lcm}(a,b)=|a\cdot b|/\gcd(a,b)$ で計算します。各分数の分子と分母に $\text{LCD}/d$ を掛けて共通分母にそろえ、そろえた分子をすべて足し合わせます。最後に、分子と分母を最大公約数(ユークリッドの互除法で算出)で割って約分します。

$$\text{value} = \sum_{i=1}^{k} s_i \cdot \frac{n_i}{d_i} = \frac{\sum_i s_i\, n_i\, (\text{LCD}/d_i)}{\text{LCD}}$$

3つの分数を共通分母にそろえて1つの分数にまとめた図 — 各分数を最小公分母で書き直し、分子を足したり引いたりする。

計算例

$-1/8 - 1/16 - 3/8 + 5/8$ を計算してみましょう。符号つきの分子は $-1$、$-1$、$-3$、$+5$、分母はそれぞれ $8$、$16$、$8$、$8$ です。最小公倍数(共通分母)は $16$ で、各分数にかける倍数は $2$、$1$、$2$、$2$ となります。通分すると $-2/16$、$-1/16$、$-6/16$、$+10/16$。分子を合計すると $$-2 - 1 - 6 + 10 = 1$$ となり、結果は $1/16$(すでに既約分数)、小数では $0.0625$ です。

2分の1や4分の1を合計にまとめた円グラフ — 例題を、色を塗った円のスライスを足し引きする形で視覚化する。

定義と用語集

分子: 分数の上の数; 等しい部分のいくつがとられるかを数えます。$ \tfrac{3}{8} $ では分子は 3 です。
分母: 分数の下の数; 等しい部分のいくつが1つの全体を作るかを示します。$ \tfrac{3}{8} $ では分母は 8 です。0にすることはできません。
最小公分母 (LCD): 分数の集合のすべての分母の共通倍数である最小の正の数。その分母の最小公倍数 (LCM) に等しく、加算または減算の前にすべての分数を変換する分母です。
最小公倍数 (LCM): 2つ以上の与えられた整数のそれぞれで割り切れる最小の正の整数。例えば、$ \operatorname{lcm}(4,6)=12 $ です。分数の LCD はその分母の LCM です。
最大公約数 (GCD): 2つ以上の整数を余りなく割る最大の正の整数。最大公因数 (GCF) とも呼ばれます。例えば、$ \gcd(12,8)=4 $ です。分数の分子と分母をそれらの GCD で割ることで、最小項に約分されます。
等価分数: 別のものと同じ値を表す分数で、分子と分母に同じ0でない数を掛けるか割ることで得られます。例えば、$ \tfrac{1}{2}=\tfrac{15}{30} $ です。
最小項: 分子と分母が1より大きい共通因数を持たない分数、つまり $ \gcd(\text{分子},\text{分母})=1 $ です。最簡形とも呼ばれます。
仮分数: 分子が分母以上である分数で、その値は1以上です。例えば $ \tfrac{53}{30} $ です。
帯分数: 整数部分と真の分数の和として書かれた数で、例えば $ 1\tfrac{23}{30} $ のようなもので、仮分数を表現する別の方法です。