ماذا تفعل هذه الحاسبة
تقوم هذه الأداة بجمع وطرح سلسلة من 2 إلى 10 كسور بسيطة مع عرض الحل الكامل خطوة بخطوة. اختر عدد الكسور التي تريد التعامل معها، وأدخل بسط ومقام كل كسر، ثم حدّد ما إذا كان كل كسر بعد الأول يُضاف أو يُطرح. تجد الحاسبة المقام المشترك الأصغر (LCD)، وتعيد كتابة كل كسر بناءً عليه، ثم تجمع البسوط، وتختزل الناتج إلى أبسط صورة، كما تعطيك العدد الكسري والقيمة العشرية.
طريقة الاستخدام
اختر عدد الكسور من القائمة المنسدلة. أدخل بسط كل كسر (يمكن أن يكون سالباً أو صفراً) ومقاماً غير صفري. لكل كسر بعد الأول، اختر عملية الجمع أو الطرح. اضغط على زر الحساب لتظهر النتيجة مع التفصيل خطوة بخطوة. يتم تنبيهك عند إدخال مقام يساوي صفراً لأن القسمة على صفر غير معرّفة.
شرح القانون
تتحول كل عملية طرح إلى إشارة على الكسر الذي يليها، فيصبح التعبير بأكمله عملية جمع: $$\text{value} = \sum_{i=1}^{k} s_i \cdot \frac{n_i}{d_i} = \frac{\sum_i s_i\, n_i\, (\text{LCD}/d_i)}{\text{LCD}}$$ والمقام المشترك الأصغر هو المضاعف المشترك الأصغر لجميع المقامات، ويُحسب بالعلاقة \(\operatorname{lcm}(a,b)=|a\cdot b|/\gcd(a,b)\). نضرب بسط ومقام كل كسر في \(\text{LCD}/d\) لوضعه على المقام المشترك، ثم نجمع البسوط الناتجة، وأخيراً نقسم البسط والمقام على القاسم المشترك الأكبر (باستخدام خوارزمية إقليدس) للاختزال: $$\frac{N}{D}=\frac{N/g}{D/g},\quad g=\gcd(|N|,D)$$
مثال محلول
لنحسب \(-\frac{1}{8} - \frac{1}{16} - \frac{3}{8} + \frac{5}{8}\). البسوط بإشاراتها هي \(-1, -1, -3, +5\) على المقامات \(8, 16, 8, 8\). المقام المشترك الأصغر هو 16، بمعاملات الضرب \(2, 1, 2, 2\). تكون الكسور المكافئة \(-\frac{2}{16}, -\frac{1}{16}, -\frac{6}{16}, +\frac{10}{16}\). وبجمع البسوط: $$-2 - 1 - 6 + 10 = 1$$ فيكون الناتج \(\frac{1}{16}\) (وهو في أبسط صورة بالفعل)، أو \(0.0625\) كقيمة عشرية.
التعاريف والمسرد
- البسط
- الرقم العلوي في الكسر؛ يمثل عدد الأجزاء المتساوية المأخوذة. في \( \tfrac{3}{8} \) البسط هو 3.
- المقام
- الرقم السفلي في الكسر؛ يخبرك بعدد الأجزاء المتساوية التي تشكل الكل. في \( \tfrac{3}{8} \) المقام هو 8. لا يمكن أن يكون أبداً 0.
- أقل مقام مشترك (LCD)
- أصغر عدد موجب هو مضاعف مشترك لجميع المقامات في مجموعة من الكسور. وهو يساوي أقل مضاعف مشترك (LCM) لتلك المقامات وهو المقام الذي تحول كل كسر إليه قبل الجمع أو الطرح.
- أقل مضاعف مشترك (LCM)
- أصغر عدد صحيح موجب يقبل القسمة على كل من عددين أو أكثر من الأعداد الصحيحة المعطاة. على سبيل المثال، \( \operatorname{lcm}(4,6)=12 \). أقل مقام مشترك للكسور هو LCM لمقاماتها.
- أكبر مقسوم عليه مشترك (GCD)
- أكبر عدد صحيح موجب يقسم عددين أو أكثر دون باقٍ، ويُسمى أيضاً أكبر عامل مشترك (GCF). على سبيل المثال، \( \gcd(12,8)=4 \). قسمة بسط الكسر ومقامه على GCD الخاص بهما يختزله إلى أبسط صورة.
- كسر متكافئ
- كسر يمثل نفس قيمة كسر آخر، يتم الحصول عليه بضرب أو قسمة البسط والمقام على نفس العدد غير الصفري. على سبيل المثال، \( \tfrac{1}{2}=\tfrac{15}{30} \).
- أبسط صورة
- كسر لا يشترك بسطه ومقامه في أي عامل أكبر من 1، أي \( \gcd(\text{البسط},\text{المقام})=1 \). يُسمى أيضاً الصورة المختزلة.
- كسر غير فعلي
- كسر يكون بسطه أكبر من أو يساوي مقامه، بحيث تكون قيمته 1 أو أكثر، مثل \( \tfrac{53}{30} \).
- عدد كسري
- عدد مكتوب كجزء صحيح إضافة إلى كسر فعلي، مثل \( 1\tfrac{23}{30} \)؛ وهو طريقة بديلة للتعبير عن كسر غير فعلي.
الأسئلة الشائعة
هل يمكنني إدخال كسور سالبة؟ نعم. إشارة الكسر الأول تأتي من بسطه، أما الكسور التالية فتجمع بين العملية المختارة وإشارة بسطها.
ماذا لو كان الناتج كسراً غير حقيقي؟ النواتج غير الحقيقية مثل \(\frac{7}{4}\) تُعرض كعدد كسري (\(1 \frac{3}{4}\)) إلى جانب الكسر والقيمة العشرية.
لماذا يظهر ناتجي كعدد صحيح؟ عندما يصبح المقام المختزَل يساوي 1، تكون القيمة عدداً صحيحاً وتُعرض من دون مقام.
