यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल 2 से 10 तक साधारण भिन्नों की एक श्रृंखला को जोड़ता और घटाता है और पूरा हल स्टेप दर स्टेप दिखाता है। आप तय करें कि कितनी भिन्नें चाहिए, हर भिन्न का अंश (numerator) और हर (denominator) भरें, और पहली भिन्न के बाद हर भिन्न के लिए चुनें कि उसे जोड़ना है या घटाना। कैलकुलेटर लघुत्तम समापवर्त्य (LCD) निकालता है, हर भिन्न को उसी हर पर लिखता है, अंशों को मिलाता है और परिणाम को न्यूनतम रूप में सरल करता है — साथ ही मिश्रित संख्या और दशमलव रूप भी देता है।
इसका उपयोग कैसे करें
ड्रॉपडाउन से भिन्नों की संख्या चुनें। हर भिन्न का अंश भरें (जो ऋणात्मक या शून्य भी हो सकता है) और हर शून्य से अलग हर भरें। पहली भिन्न के बाद आने वाली हर भिन्न के लिए जोड़ें या घटाएँ चिह्न चुनें। उत्तर और स्टेप-दर-स्टेप विवरण देखने के लिए "गणना करें" दबाएँ। शून्य वाले हर को चिह्नित किया जाता है क्योंकि शून्य से भाग देना अपरिभाषित होता है।
सूत्र की व्याख्या
हर घटाव चिह्न को उसके बाद वाली भिन्न के चिह्न में बदल दिया जाता है, जिससे पूरा व्यंजक एक योग बन जाता है:
$$\text{मान} = \sum_{i=1}^{k} s_i \cdot \frac{n_i}{d_i} = \frac{\sum_i s_i\, n_i\, (\text{LCD}/d_i)}{\text{LCD}}$$LCD सभी हरों का लघुत्तम समापवर्त्य होता है, जिसे \(\operatorname{lcm}(a,b)=|a\cdot b|/\gcd(a,b)\) से निकाला जाता है। हर भिन्न के अंश और हर को \(\text{LCD}/d\) से गुणा करके उन्हें समान हर पर लाएँ, फिर प्राप्त अंशों को जोड़ें, और अंत में अंश व हर को उनके महत्तम समापवर्तक (यूक्लिड की विधि) से भाग देकर सरल कर लें।
$$\frac{a}{b}\pm\frac{c}{d}=\frac{a\,(\text{LCD}/b)\pm c\,(\text{LCD}/d)}{\text{LCD}}$$$$\frac{N}{D}=\frac{N/g}{D/g},\quad g=\gcd(|N|,D)$$
हल किया हुआ उदाहरण
\(-1/8 - 1/16 - 3/8 + 5/8\) की गणना करें। चिह्न सहित अंश हैं \(-1, -1, -3, +5\) और हर हैं \(8, 16, 8, 8\)। यहाँ LCD है \(16\), जिसके गुणक हैं \(2, 1, 2, 2\)। समतुल्य भिन्नें हैं \(-2/16, -1/16, -6/16, +10/16\)। अंशों का योग: $$-2 - 1 - 6 + 10 = 1,$$ अतः परिणाम \(1/16\) है (जो पहले से ही न्यूनतम रूप में है), या दशमलव में \(0.0625\)।
परिभाषाएँ और शब्दावली
- अंश (न्यूमरेटर)
- किसी भिन्न की ऊपरी संख्या; यह बताती है कि कितने समान भाग लिए गए हैं। \( \tfrac{3}{8} \) में अंश 3 है।
- हर (डिनोमिनेटर)
- किसी भिन्न की निचली संख्या; यह बताती है कि कितने समान भाग एक पूरे को बनाते हैं। \( \tfrac{3}{8} \) में हर 8 है। यह कभी 0 नहीं हो सकता।
- लघुत्तम समान हर (LCD)
- सबसे छोटी धनात्मक संख्या जो भिन्नों के एक समुच्चय में सभी हरों का सामान्य गुणज है। यह उन हरों के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) के बराबर है और वह हर है जिसमें आप भिन्नों को जोड़ने या घटाने से पहले बदलते हैं।
- लघुत्तम समापवर्त्य (LCM)
- सबसे छोटी धनात्मक पूर्णांक जो दो या अधिक दी गई पूर्णांकों से विभाजित होती है। उदाहरण के लिए, \( \operatorname{lcm}(4,6)=12 \)। भिन्नों का LCD उनके हरों का LCM है।
- महत्तम समापवर्तक (GCD)
- सबसे बड़ी धनात्मक पूर्णांक जो दो या अधिक पूर्णांकों को बिना शेषफल के विभाजित करती है, इसे महत्तम सामान्य गुणनखंड (GCF) भी कहते हैं। उदाहरण के लिए, \( \gcd(12,8)=4 \)। किसी भिन्न के अंश और हर को उनके GCD से विभाजित करने से यह निम्नतम पदों तक सरल हो जाती है।
- समतुल्य भिन्न
- एक भिन्न जो दूसरी के समान मान को निरूपित करती है, जिसे अंश और हर को एक ही गैर-शून्य संख्या से गुणा या विभाजित करके प्राप्त किया जाता है। उदाहरण के लिए, \( \tfrac{1}{2}=\tfrac{15}{30} \)।
- निम्नतम पद (लोएस्ट टर्मस्)
- एक भिन्न जिसमें अंश और हर का 1 से अधिक कोई सामान्य गुणनखंड नहीं है, अर्थात \( \gcd(\text{अंश},\text{हर})=1 \)। इसे सरलतम रूप भी कहते हैं।
- विषम भिन्न (इम्प्रॉपर फ्रैक्शन)
- एक भिन्न जिसका अंश उसके हर के बराबर या उससे अधिक है, इसलिए इसका मान 1 या उससे अधिक है, जैसे \( \tfrac{53}{30} \)।
- मिश्र संख्या
- एक संख्या जो एक पूर्ण भाग और एक उचित भिन्न के रूप में लिखी जाती है, जैसे \( 1\tfrac{23}{30} \); यह एक विषम भिन्न को व्यक्त करने का एक वैकल्पिक तरीका है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
क्या मैं ऋणात्मक भिन्नें भर सकता हूँ? हाँ। पहली भिन्न का चिह्न उसके अंश से आता है, और बाद की भिन्नें चुने गए चिह्न को उनके अंश के चिह्न के साथ मिलाती हैं।
अगर मेरा उत्तर विषम भिन्न (improper) हो तो? \(7/4\) जैसे विषम परिणाम भिन्न और दशमलव के साथ-साथ मिश्रित संख्या (\(1\ 3/4\)) के रूप में भी दिखाए जाते हैं।
मेरा परिणाम पूर्ण संख्या के रूप में क्यों दिख रहा है? जब सरल किया गया हर \(1\) बन जाता है, तो मान एक पूर्णांक होता है और बिना हर के दिखाया जाता है।
