यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल दो परिमेय व्यंजकों को जोड़ता या घटाता है — ऐसी भिन्नें जिनका अंश और हर चर x में बहुपद होते हैं। यह दोनों भिन्नों को एक उभयनिष्ठ हर पर दोबारा लिखता है, अंशों को जोड़ता है और उत्तर को एक ही सरलीकृत परिमेय व्यंजक में घटाता है। प्रत्येक व्यंजक रैखिक पदों के अनुपात \(\frac{a x + b}{c x + d}\) के रूप में दर्ज किया जाता है, जो बीजगणित में सबसे अधिक दिखने वाले रूपों को कवर करता है: सामान्य अचर, एकल पद, और रैखिक अंश व हर।
इसका उपयोग कैसे करें
पहले व्यंजक के लिए, अंश को उसके x-गुणांक a और अचर b के रूप में टाइप करें, फिर हर को उसके x-गुणांक c और अचर d के रूप में। जोड़ें या घटाएँ चुनें, फिर दूसरे व्यंजक को उसी तरह दर्ज करें। 5 जैसा कोई सामान्य अचर दर्ज करने के लिए, उसके x-गुणांक को 0 और अचर को 5 पर सेट करें। कैलकुलेटर संयुक्त व्यंजक को न्यूनतम रूप में घटाकर लौटाता है, साथ ही अंश और हर के गुणांकों (x-वर्ग, x और अचर वाले भाग) की एक तालिका भी देता है।
सूत्र की व्याख्या
दो भिन्नों को उनके हरों के गुणनफल (एक उभयनिष्ठ हर) पर लिखकर और क्रॉस-गुणित अंशों को जोड़कर या घटाकर संयोजित किया जाता है:
$$\frac{a_1 x + b_1}{c_1 x + d_1} \pm \frac{a_2 x + b_2}{c_2 x + d_2} = \frac{(a_1 x + b_1)(c_2 x + d_2) \pm (a_2 x + b_2)(c_1 x + d_1)}{(c_1 x + d_1)(c_2 x + d_2)}$$जब दोनों हर बराबर होते हैं (या एक दूसरे का अचर गुणज होता है), तो कैलकुलेटर गुणनफल के बजाय उसी एकल हर का उपयोग करता है, ताकि उत्तर न्यूनतम रूप में बना रहे। इसके बाद, कोई भी पूर्णांक जो अंश और हर के हर गुणांक को विभाजित करता है, रद्द कर दिया जाता है।
हल किया गया उदाहरण
\(\frac{3}{x+2}\) और \(\frac{5}{x-1}\) को जोड़ें। इन हरों में कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है, इसलिए उभयनिष्ठ हर उनका गुणनफल \((x+2)(x-1)\) है:
$$\frac{3}{x+2} + \frac{5}{x-1} = \frac{3(x-1) + 5(x+2)}{(x+2)(x-1)} = \frac{8x + 7}{x^2 + x - 2}$$अंश का विस्तार \(3x - 3 + 5x + 10 = 8x + 7\) होता है और हर का \(x^2 + x - 2\)। चूँकि 8, 7 और हर के गुणांकों में कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है, इसलिए सरलीकृत उत्तर \(\frac{8x + 7}{x^2 + x - 2}\) है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्या दोनों हरों का समान होना ज़रूरी है? नहीं। यदि वे भिन्न हैं, तो कैलकुलेटर उन्हें गुणा करके एक उभयनिष्ठ हर बनाता है, फिर अंशों को संयोजित करता है। यदि वे मेल खाते हैं या समानुपाती हैं, तो यह एकल हर को बनाए रखता है, जिससे परिणाम पहले से ही न्यूनतम रूप में होता है।
क्या x किसी हर को शून्य के बराबर बना सकता है? हाँ, और उन मानों को प्रांत से बाहर रखा जाता है। उदाहरण के लिए, \(\frac{3}{x+2}\) \(x = -2\) पर अपरिभाषित है। सरलीकृत व्यंजक मूल भिन्नों की तरह ही वही प्रतिबंध विरासत में लेता है।
क्या यह वर्ग या उच्चतर घात वाले पदों को संभालता है? आप जो प्रत्येक व्यंजक दर्ज करते हैं वह रैखिक पदों का अनुपात है, लेकिन संयुक्त उत्तर में x-वर्ग पद आ सकता है, क्योंकि दो रैखिक हरों को गुणा करने से द्विघात प्राप्त होता है। जो इनपुट स्वयं द्विघात या उससे उच्चतर हैं, वे इसके दायरे से बाहर हैं।
