Что умеет этот калькулятор
Инструмент складывает или вычитает две дроби (рациональных выражения) вида \(a/b \pm c/d\). Он приводит дроби к общему знаменателю, объединяет числители, сокращает полученную дробь на наибольший общий делитель (НОД), а также показывает результат в виде десятичного числа. Калькулятор работает с любыми целыми числителями и знаменателями — как положительными, так и отрицательными.
Как пользоваться
Введите числитель \(a\) и знаменатель \(b\) первой дроби, выберите действие — «Сложить» или «Вычесть», — затем укажите числитель \(c\) и знаменатель \(d\) второй дроби. Нажмите «Рассчитать». Вы увидите общую дробь до сокращения, полностью сокращённую дробь и её десятичный эквивалент.
Разбираем формулу
Чтобы сложить или вычесть дроби, нужен общий знаменатель. Самый простой общий знаменатель — это произведение \(b \cdot d\). Если привести каждую дробь к \(b \cdot d\), получим \(a \cdot d\) на \(b \cdot d\) и \(c \cdot b\) на \(b \cdot d\), поэтому $$\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d \pm c \cdot b}{b \cdot d}.$$ Для сокращения находим НОД нового числителя и знаменателя и делим оба на него. По общепринятому правилу знаменатель оставляют положительным.
Пример с решением
Сложим \(1/4\) и \(1/6\). Здесь \(a=1\), \(b=4\), \(c=1\), \(d=6\). Общий числитель равен $$a \cdot d + c \cdot b = 1 \cdot 6 + 1 \cdot 4 = 10,$$ а общий знаменатель — $$b \cdot d = 4 \cdot 6 = 24,$$ то есть получаем \(10/24\). НОД чисел \(10\) и \(24\) равен \(2\), поэтому, разделив оба на \(2\), получаем \(5/12 \approx 0{,}4167\).
Частые вопросы
Можно ли использовать отрицательные числа? Да. Отрицательные числители и знаменатели допустимы; в ответе знаменатель остаётся положительным.
Что если в ответе получается целое число? Если знаменатель после сокращения равен \(1\), дробь равна этому целому числу — например, \(2/1\) означает \(2\).
Почему общая дробь не сразу в простейшем виде? Если в качестве общего знаменателя брать \(b \cdot d\), числа могут получиться большими — именно поэтому калькулятор затем делит их на НОД и показывает простейший вид.
Как складывать или вычитать дроби вручную
Чтобы объединить \(\dfrac{a}{b} \pm \dfrac{c}{d}\), выполните эти шаги по порядку:
- Найдите общий знаменатель. Самый простой выбор — произведение \(b \cdot d\). Для меньших чисел используйте наименьший общий знаменатель (НОЗ) — наименьшее общее кратное \(b\) и \(d\).
- Перепишите каждый числитель. Масштабируйте каждую дробь к общему знаменателю: первая становится \(a \cdot d\), а вторая становится \(c \cdot b\), обе над \(b \cdot d\).
- Сложите или вычтите числители. Оставьте общий знаменатель: \(\dfrac{a \cdot d \pm c \cdot b}{b \cdot d}\). Знаменатель не изменяется на этом шаге.
- Найдите НОД. Вычислите наибольший общий делитель полученных числителя и знаменателя.
- Разделите оба на НОД. Это приводит дробь к несократимому виду. Если НОД равен 1, дробь уже упрощена.
- Оставьте знаменатель положительным. Если знаменатель получился отрицательным, умножьте и числитель, и знаменатель на \(-1\) так, чтобы знак находился в числителе (например, пишите \(\tfrac{-1}{15}\), а не \(\tfrac{1}{-15}\)).
- Преобразуйте в десятичную дробь (необязательно). Разделите упрощённый числитель на знаменатель. Периодические десятичные дроби (такие как \(0.8\overline{3}\)) точны только в виде обыкновенной дроби.
Ключевые термины
- Числитель
- Верхнее число дроби, такое как \(a\) в \(\tfrac{a}{b}\); оно показывает, сколько равных частей взято.
- Знаменатель
- Нижнее число дроби, такое как \(b\) в \(\tfrac{a}{b}\); оно указывает, сколько равных частей составляют одно целое. Он никогда не может быть нулём.
- Рациональное выражение / дробь
- Частное двух величин, \(\tfrac{a}{b}\), где знаменатель не равен нулю. Числовая дробь — это простейший вид рационального выражения.
- Общий знаменатель
- Общий знаменатель для двух или более дробей, позволяющий складывать или вычитать их числители непосредственно. Произведение \(b \cdot d\) всегда работает.
- Наименьший общий знаменатель (НОЗ)
- Самый маленький общий знаменатель — наименьшее общее кратное исходных знаменателей. Использование НОЗ сохраняет числа как можно меньше.
- Наибольший общий делитель (НОД)
- Самое большое целое число, которое делит и числитель, и знаменатель без остатка. Деление обоих на НОД упрощает дробь за один шаг.
- Несократимый вид / несократимая дробь
- Дробь, в которой числитель и знаменатель не имеют общих делителей, кроме 1, поэтому её нельзя сократить дальше.
- Десятичный эквивалент
- Значение дроби, записанное в десятичной форме, найденное путём деления числителя на знаменатель (например, \(\tfrac{7}{12} = 0.58\overline{3}\)).
