Что делает этот калькулятор
Этот инструмент складывает или вычитает два рациональных выражения — дроби, числитель и знаменатель которых являются многочленами от переменной x. Он переписывает обе дроби с общим знаменателем, объединяет числители и приводит ответ к одному упрощённому рациональному выражению. Каждое выражение вводится как отношение линейных членов, \(\frac{a x + b}{c x + d}\), что охватывает формы, чаще всего встречающиеся в алгебре: обычные константы, отдельные члены, а также линейные числители и знаменатели.
Как пользоваться
Для первого выражения введите числитель через его коэффициент при x a и свободный член b, затем знаменатель через его коэффициент при x c и свободный член d. Выберите Сложить или Вычесть и введите второе выражение таким же образом. Чтобы ввести обычную константу, например 5, задайте её коэффициент при x равным 0, а свободный член — 5. Калькулятор возвращает объединённое выражение, приведённое к несократимому виду, вместе с таблицей коэффициентов числителя и знаменателя (частей при x в квадрате, при x и свободного члена).
Разбор формулы
Две дроби объединяются, если записать их над произведением их знаменателей (общим знаменателем) и сложить или вычесть перекрёстно перемноженные числители:
$$\frac{a_1 x + b_1}{c_1 x + d_1} \pm \frac{a_2 x + b_2}{c_2 x + d_2} = \frac{(a_1 x + b_1)(c_2 x + d_2) \pm (a_2 x + b_2)(c_1 x + d_1)}{(c_1 x + d_1)(c_2 x + d_2)}$$Когда оба знаменателя равны (или один является постоянным кратным другого), калькулятор использует этот единственный знаменатель вместо произведения, поэтому ответ остаётся несократимым. Затем сокращается любое целое число, которое делит все коэффициенты числителя и знаменателя.
Разобранный пример
Сложим \(\frac{3}{x+2}\) и \(\frac{5}{x-1}\). У знаменателей нет общего множителя, поэтому общий знаменатель — их произведение \((x+2)(x-1)\):
$$\frac{3}{x+2} + \frac{5}{x-1} = \frac{3(x-1) + 5(x+2)}{(x+2)(x-1)} = \frac{8x + 7}{x^2 + x - 2}$$Числитель раскрывается как \(3x - 3 + 5x + 10 = 8x + 7\), а знаменатель — как \(x^2 + x - 2\). Поскольку у 8, 7 и коэффициентов знаменателя нет общего множителя, упрощённый ответ — \(\frac{8x + 7}{x^2 + x - 2}\).
Часто задаваемые вопросы
Должны ли оба знаменателя быть одинаковыми? Нет. Если они различаются, калькулятор перемножает их, чтобы получить общий знаменатель, а затем объединяет числители. Если они совпадают или пропорциональны, он сохраняет единственный знаменатель, поэтому результат уже несократим.
Может ли x обратить знаменатель в ноль? Да, и такие значения исключаются из области определения. Например, \(\frac{3}{x+2}\) не определено при \(x = -2\). Упрощённое выражение наследует те же ограничения, что и исходные дроби.
Обрабатывает ли он члены во второй или более высокой степени? Каждое вводимое выражение — это отношение линейных членов, но объединённый ответ может содержать член с x в квадрате, поскольку перемножение двух линейных знаменателей даёт квадратный многочлен. Данные, которые сами являются квадратными или более высокой степени, выходят за рамки его возможностей.
