Калькулятор логистической модели роста

Введите расчет

Ёмкость среды (K)

Начальная численность популяции (P0)

Скорость роста (r)

Время (t)

Результатов

Численность в момент времени t, P(t)

109,57

единиц

Константа A = (K - P0)/P0	99
Прирост с момента старта (P(t) - P0)	99,57

Что такое логистическая модель роста?

Логистическая модель описывает, как популяция быстро растёт, пока остаётся небольшой, а затем замедляется по мере приближения к максимально устойчивому размеру — ёмкости среды (K). В отличие от неограниченного экспоненциального роста, логистическая кривая имеет S-образную форму (сигмоиду): стремительный рост на старте, точка перегиба при \(K/2\) и выход на плато вблизи K. Эту модель широко применяют в экологии, биологии, эпидемиологии, а также в моделях распространения технологий и насыщения рынка.

Логистическая кривая имеет S-образную форму: растёт от P0 и выходит на плато ёмкости среды K.

Как пользоваться калькулятором

Введите четыре значения: ёмкость среды K (верхний предел), начальную численность популяции P0 в нулевой момент времени, собственную скорость роста r (за единицу времени) и прошедшее время t. Калькулятор вернёт численность P(t), константу модели A и общий прирост с момента старта.

Разбор формулы

Модель задаётся выражением $$P(t) = \frac{\text{K}}{1 + A\,e^{-\text{r}\cdot\text{t}}}, \qquad A = \frac{\text{K} - \text{P}_0}{\text{P}_0}.$$ Константа A определяется начальными условиями так, чтобы выполнялось равенство \(P(0) = P_0\). С ростом \(t\) множитель \(e^{-rt}\) стремится к нулю, знаменатель приближается к 1, а значение P(t) — к ёмкости среды K. Скорость роста \(r\) определяет, насколько крутым будет подъём кривой.

Реклама

Рост медленный вблизи P0, самый быстрый при \(K/2\) (точка перегиба), затем замедляется по мере приближения P к K.

Пример расчёта

Пусть \(K = 1000\), \(P_0 = 10\), \(r = 0{,}5\) и \(t = 5\). Сначала находим $$A = \frac{1000 - 10}{10} = 99.$$ Затем $$e^{-0{,}5\cdot 5} = e^{-2{,}5} \approx 0{,}082085.$$ Знаменатель $$= 1 + 99\cdot 0{,}082085 \approx 9{,}1264,$$ поэтому $$P(5) = \frac{1000}{9{,}1264} \approx 109{,}57.$$ Популяция выросла с 10 примерно до 110 за 5 единиц времени.

Частые вопросы

Что будет, если r отрицательное? Отрицательное значение \(r\) моделирует не рост к K, а спад в направлении нуля.

Что такое точка перегиба? Рост идёт быстрее всего при \(P = K/2\); до этого момента кривая ускоряется, а после — замедляется.

Может ли P превысить K? Если начальная численность стартует выше K (превышение, или «овершут»), модель возвращает значения, которые со временем затухают, опускаясь к K.