¿Qué es el modelo de crecimiento logístico?
El modelo de crecimiento logístico describe cómo una población crece deprisa cuando es pequeña y luego se frena a medida que se acerca a su tamaño máximo sostenible, conocido como capacidad de carga (K). A diferencia del crecimiento exponencial ilimitado, la curva logística tiene forma de S (sigmoide): un crecimiento rápido al principio, un punto de inflexión en K/2 y una estabilización cerca de K. Se utiliza ampliamente en ecología, biología, epidemiología e incluso en modelos de adopción tecnológica y saturación de mercados.
Cómo usar esta calculadora
Introduce cuatro valores: la capacidad de carga K (el límite superior), la población inicial P0 en el instante cero, la tasa de crecimiento intrínseca r (por unidad de tiempo) y el tiempo transcurrido t. La calculadora devuelve la población P(t), la constante del modelo A y el crecimiento total desde el inicio.
La fórmula explicada
El modelo es $$P(t) = \frac{\text{K}}{1 + A\,e^{-\text{r}\cdot\text{t}}}, \qquad A = \frac{\text{K} - \text{P}_0}{\text{P}_0}$$ La constante \(A\) queda determinada por las condiciones iniciales, de modo que \(P(0) = P_0\). A medida que \(t\) aumenta, el término \(e^{-rt}\) tiende a cero, el denominador se aproxima a 1 y \(P(t)\) se acerca a \(K\). La tasa de crecimiento \(r\) controla lo pronunciada que es la subida.
Ejemplo resuelto
Supongamos que \(K = 1000\), \(P_0 = 10\), \(r = 0{,}5\) y \(t = 5\). Primero $$A = \frac{1000 - 10}{10} = 99$$ Luego $$e^{-0{,}5\cdot 5} = e^{-2{,}5} \approx 0{,}082085$$ El denominador $$= 1 + 99\cdot 0{,}082085 \approx 9{,}1264$$ así que $$P(5) = \frac{1000}{9{,}1264} \approx 109{,}57$$ La población pasó de 10 a unos 110 en 5 unidades de tiempo.
Preguntas frecuentes
¿Qué ocurre si r es negativa? Una r negativa modela un descenso hacia cero en lugar de un crecimiento hacia K.
¿Qué es el punto de inflexión? El crecimiento es más rápido cuando P = K/2; antes de ese punto la curva se acelera y después se desacelera.
¿Puede P superar a K? Si la población inicial parte por encima de K (sobrepasamiento), el modelo devuelve valores que decaen hacia K con el tiempo.
