¿Qué es una función par o impar?
Una función describe la relación entre una entrada \(x\) y una salida \(f(x)\). Una de sus propiedades estructurales más útiles es la simetría. Una función es par cuando su gráfica es simétrica respecto al eje Y, es decir, cuando \(f(-x) = f(x)\) para todo valor de \(x\). Una función es impar cuando su gráfica presenta simetría rotacional respecto al origen, lo que significa que \(f(-x) = -f(x)\). Muchas funciones no son ni una cosa ni la otra.
Cómo usar esta calculadora
Esta herramienta analiza un único término potencial de la forma \(f(x) = a\cdot x^{p}\). Introduce el coeficiente a, el exponente entero p y un valor de prueba x distinto de cero. La calculadora evalúa \(f(x)\) y \(f(-x)\) y luego los compara: si \(f(-x)\) coincide con \(f(x)\), el término es par; si \(f(-x)\) es igual a \(-f(x)\), es impar; en cualquier otro caso, no es ni par ni impar.
La fórmula explicada
En un término potencial puro, el exponente determina la simetría. Cuando \(p\) es par, \((-x)^{p} = x^{p}\), de modo que \(f(-x) = f(x)\) y la función es par. Cuando \(p\) es impar, \((-x)^{p} = -x^{p}\), por lo que \(f(-x) = -f(x)\) y la función es impar. El coeficiente \(a\) no altera la clasificación (salvo cuando \(a = 0\), que da la función cero, considerada par).
$$f(x) = a \cdot x^{p} \;\Rightarrow\; \begin{cases} \text{Even} & \text{if } f(-x) = f(x) \\[4pt] \text{Odd} & \text{if } f(-x) = -f(x) \\[4pt] \text{Neither} & \text{otherwise} \end{cases}$$
Ejemplo resuelto
Tomemos \(f(x) = 2x^{3}\) con \(x = 3\). Entonces:
$$f(3) = 2\cdot 27 = 54 \qquad f(-3) = 2\cdot(-27) = -54$$Como \(f(-3) = -f(3)\), la función es impar.
Preguntas frecuentes
¿Puede una función ser par e impar a la vez? Solo la función cero \(f(x) = 0\) cumple ambas condiciones, porque \(0 = 0 = -0\).
¿Para qué sirve saber si es par o impar? Revela la simetría de la gráfica y puede simplificar integrales: las funciones impares se integran a cero en intervalos simétricos.
¿Funciona con polinomios completos? Esta versión analiza un solo término potencial. Una suma de términos es par solo si todos sus términos son pares, e impar solo si todos sus términos son impares.
