सम या विषम फलन क्या होता है?
कोई फलन एक इनपुट x और उसके आउटपुट f(x) के बीच के संबंध को दर्शाता है। इसकी सबसे उपयोगी संरचनात्मक विशेषताओं में से एक है सममिति (symmetry)। एक फलन सम (even) कहलाता है जब उसका ग्राफ y-अक्ष के सापेक्ष दर्पण-सममित हो, यानी हर x के लिए \(f(-x) = f(x)\)। वहीं फलन विषम (odd) कहलाता है जब उसके ग्राफ में मूल बिंदु (origin) के सापेक्ष घूर्णन-सममिति हो, यानी \(f(-x) = -f(x)\)। कई फलन इनमें से कोई भी नहीं होते।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
यह टूल \(f(x) = a \cdot x^{p}\) के रूप वाले एक अकेले घात पद की जाँच करता है। गुणांक a, पूर्णांक घातांक p और एक शून्येतर परीक्षण मान x दर्ज करें। कैलकुलेटर f(x) और f(-x) की गणना करता है और फिर इनकी तुलना करता है: यदि f(-x), f(x) के बराबर हो तो पद सम है, यदि f(-x), -f(x) के बराबर हो तो विषम है, अन्यथा इनमें से कोई नहीं।
सूत्र की व्याख्या
किसी शुद्ध घात पद के लिए सममिति घातांक से तय होती है। जब p सम होता है, तब \((-x)^{p} = x^{p}\), इसलिए \(f(-x) = f(x)\) और फलन सम होता है। जब p विषम होता है, तब \((-x)^{p} = -x^{p}\), इसलिए \(f(-x) = -f(x)\) और फलन विषम होता है। गुणांक a इस वर्गीकरण को नहीं बदलता (सिवाय a = 0 के, जो शून्य फलन देता है और जिसे सम माना जाता है)।
$$f(x) = a \cdot x^{p} \;\Rightarrow\; \begin{cases} \text{Even} & \text{if } f(-x) = f(x) \\[4pt] \text{Odd} & \text{if } f(-x) = -f(x) \\[4pt] \text{Neither} & \text{otherwise} \end{cases}$$
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(f(x) = 2x^{3}\) और \(x = 3\)। तब $$f(3) = 2 \cdot 27 = 54$$ और $$f(-3) = 2 \cdot (-27) = -54$$ चूँकि \(f(-3) = -f(3)\), इसलिए यह फलन विषम है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्या कोई फलन सम और विषम दोनों हो सकता है? केवल शून्य फलन \(f(x) = 0\) ही दोनों होता है, क्योंकि \(0 = 0 = -0\)।
सम या विषम होने से मुझे क्या पता चलता है? इससे ग्राफ की सममिति का पता चलता है और यह समाकलन (integral) को आसान बना सकता है: विषम फलन सममित अंतरालों पर शून्य पर समाकलित होते हैं।
क्या यह पूरे बहुपद (polynomial) को संभालता है? यह संस्करण एक ही घात पद की जाँच करता है। पदों का योग तभी सम होता है जब हर पद सम हो, और तभी विषम होता है जब हर पद विषम हो।
