Калькулятор чётной и нечётной функции

Введите расчет

Коэффициент a (для a·x^p)

Показатель степени p (целое число)

Тестовое значение x

This tool tests a single power term f(x) = a·x^p. A function is чётной if f(-x)=f(x) and нечётной if f(-x)=-f(x).

Результатов

Симметрия функции

Even

f(-x) = f(x)

f(x)	9
f(-x)	9
-f(x)	-9

Что такое чётная и нечётная функция?

Функция задаёт связь между аргументом x и значением f(x). Одно из самых полезных её структурных свойств — симметрия. Функцию называют чётной, если её график симметричен относительно оси Oy, то есть \(f(-x) = f(x)\) при любом x. Функция считается нечётной, если её график обладает поворотной симметрией относительно начала координат, то есть \(f(-x) = -f(x)\). Многие функции не относятся ни к одному из этих типов — это функции общего вида.

Чётные функции симметричны относительно оси y, нечётные — относительно начала координат.

Как пользоваться калькулятором

Этот инструмент проверяет один степенной член вида $$f(x) = a \cdot x^{p}.$$ Введите коэффициент a, целый показатель степени p и ненулевое тестовое значение x. Калькулятор вычислит f(x) и f(-x), а затем сравнит их: если f(-x) равно f(x), член чётный; если f(-x) равно -f(x), он нечётный; в остальных случаях — ни тот ни другой.

Разбор формулы

Для чистого степенного члена симметрию определяет показатель степени. Если p чётный, то \((-x)^{p} = x^{p}\), значит \(f(-x) = f(x)\), и функция чётная. Если p нечётный, то \((-x)^{p} = -x^{p}\), значит \(f(-x) = -f(x)\), и функция нечётная. Коэффициент a на тип функции не влияет (за исключением случая a = 0, когда получается нулевая функция — её принято считать чётной).

$$f(x) = a \cdot x^{p} \;\Rightarrow\; \begin{cases} \text{Even} & \text{if } f(-x) = f(x) \\[4pt] \text{Odd} & \text{if } f(-x) = -f(x) \\[4pt] \text{Neither} & \text{otherwise} \end{cases}$$

Сравнение f(-x) с f(x) (чётная) и с -f(x) (нечётная).

Пример с решением

Возьмём \(f(x) = 2x^{3}\) и \(x = 3\). Тогда $$f(3) = 2 \cdot 27 = 54,$$ а $$f(-3) = 2 \cdot (-27) = -54.$$ Поскольку \(f(-3) = -f(3)\), функция нечётная.

Частые вопросы

Может ли функция быть одновременно чётной и нечётной? Этим свойством обладает только нулевая функция \(f(x) = 0\), потому что \(0 = 0 = -0\).

Что даёт знание чётности функции? Оно раскрывает симметрию графика и упрощает вычисление интегралов: интеграл нечётной функции по симметричному промежутку равен нулю.

Подходит ли калькулятор для полных многочленов? Эта версия проверяет один степенной член. Сумма членов будет чётной, только если чётный каждый член, и нечётной — только если нечётный каждый член.