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Symétrie de la fonction

Even

f(-x) = f(x)

f(x)	9
f(-x)	9
-f(x)	-9

Qu'est-ce qu'une fonction paire ou impaire ?

Une fonction décrit une relation entre une entrée $x$ et une sortie $f(x)$. L'une de ses propriétés structurelles les plus utiles est la symétrie. Une fonction est paire lorsque sa courbe présente une symétrie axiale par rapport à l'axe des ordonnées (l'axe des y), c'est-à-dire $f(-x) = f(x)$ pour tout $x$. Une fonction est impaire lorsque sa courbe possède une symétrie centrale par rapport à l'origine, soit $f(-x) = -f(x)$. Beaucoup de fonctions ne sont ni paires ni impaires.

Deux graphiques côte à côte montrant une fonction paire symétrique par rapport à l'axe des y et une fonction impaire symétrique par rapport à l'origine — Les fonctions paires sont symétriques par rapport à l'axe des y ; les impaires, par rapport à l'origine.

Comment utiliser ce calculateur

Cet outil teste un seul terme puissance de la forme $f(x) = a \cdot x^{p}$. Saisissez le coefficient a, l'exposant entier p et une valeur de test x non nulle. Le calculateur évalue $f(x)$ et $f(-x)$, puis les compare : si $f(-x)$ est égal à $f(x)$, le terme est pair ; si $f(-x)$ est égal à $-f(x)$, il est impair ; sinon, il n'est ni l'un ni l'autre.

La formule expliquée

Pour un terme puissance pur, c'est l'exposant qui détermine la symétrie. Lorsque $p$ est pair, $(-x)^{p} = x^{p}$, donc $f(-x) = f(x)$ et la fonction est paire. Lorsque $p$ est impair, $(-x)^{p} = -x^{p}$, donc $f(-x) = -f(x)$ et la fonction est impaire. La constante $a$ ne modifie pas la classification (sauf si $a = 0$, qui donne la fonction nulle, considérée comme paire).

$$f(x) = a \cdot x^{p} \;\Rightarrow\; \begin{cases} \text{Even} & \text{if } f(-x) = f(x) \\[4pt] \text{Odd} & \text{if } f(-x) = -f(x) \\[4pt] \text{Neither} & \text{otherwise} \end{cases}$$

Schéma montrant la réflexion d'un point par rapport à l'axe des y pour les fonctions paires et par rapport à l'origine pour les fonctions impaires — Comparaison de $f(-x)$ avec $f(x)$ (paire) et avec $-f(x)$ (impaire).

Exemple concret

Prenons $f(x) = 2x^{3}$ avec $x = 3$. On obtient $$f(3) = 2 \cdot 27 = 54$$ et $$f(-3) = 2 \cdot (-27) = -54.$$ Comme $f(-3) = -f(3)$, la fonction est impaire.

Questions fréquentes

Une fonction peut-elle être à la fois paire et impaire ? Seule la fonction nulle $f(x) = 0$ l'est, car $0 = 0 = -0$.

Qu'apprend-on grâce à la parité d'une fonction ? Elle révèle la symétrie de la courbe et peut simplifier le calcul d'intégrales : l'intégrale d'une fonction impaire est nulle sur un intervalle symétrique.

Cet outil traite-t-il les polynômes complets ? Cette version vérifie un seul terme puissance. Une somme de termes est paire seulement si chaque terme est pair, et impaire seulement si chaque terme est impair.

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