우함수와 홀함수란?
함수는 입력값 x와 출력값 f(x) 사이의 관계를 나타냅니다. 그중에서도 가장 유용한 구조적 성질 하나가 바로 대칭성입니다. 어떤 함수가 y축에 대해 거울처럼 좌우 대칭을 이루면, 즉 모든 x에 대해 \(f(-x) = f(x)\)가 성립하면 그 함수는 우함수(짝함수)입니다. 반면 그래프가 원점을 기준으로 회전 대칭을 이루면, 즉 \(f(-x) = -f(x)\)가 성립하면 홀함수입니다. 물론 어느 쪽에도 해당하지 않는 함수도 많습니다.
계산기 사용 방법
이 도구는 \(f(x) = a \cdot x^{p}\) 형태의 단일 거듭제곱 항을 검사합니다. 계수 a, 정수 지수 p, 그리고 0이 아닌 검사값 x를 입력하세요. 계산기는 f(x)와 f(-x)를 계산한 뒤 두 값을 비교합니다. f(-x)가 f(x)와 같으면 우함수, f(-x)가 -f(x)와 같으면 홀함수, 그 외에는 어느 쪽도 아닙니다.
$$f(x) = a \cdot x^{p} \;\Rightarrow\; \begin{cases} \text{Even} & \text{if } f(-x) = f(x) \\[4pt] \text{Odd} & \text{if } f(-x) = -f(x) \\[4pt] \text{Neither} & \text{otherwise} \end{cases}$$공식 풀이
순수한 거듭제곱 항에서는 지수가 대칭성을 결정합니다. p가 짝수이면 \((-x)^{p} = x^{p}\)이므로 \(f(-x) = f(x)\)가 되어 우함수입니다. p가 홀수이면 \((-x)^{p} = -x^{p}\)이므로 \(f(-x) = -f(x)\)가 되어 홀함수입니다. 계수 a는 판별 결과를 바꾸지 않습니다(단, a = 0이면 영함수가 되며, 이는 우함수로 봅니다).
예제 풀이
\(f(x) = 2x^{3}\)에서 \(x = 3\)인 경우를 살펴봅시다. \(f(3) = 2 \cdot 27 = 54\)이고 \(f(-3) = 2 \cdot (-27) = -54\)입니다. \(f(-3) = -f(3)\)이므로 이 함수는 홀함수입니다.
$$f(3) = 2 \cdot 27 = 54, \quad f(-3) = 2 \cdot (-27) = -54$$자주 묻는 질문
우함수이면서 동시에 홀함수일 수 있나요? \(0 = 0 = -0\)이 성립하므로 영함수 \(f(x) = 0\)만이 우함수이면서 홀함수입니다.
우함수·홀함수 여부를 알면 무엇이 좋나요? 그래프의 대칭성을 파악할 수 있고 적분 계산이 간단해집니다. 홀함수는 대칭 구간에서 적분하면 0이 됩니다.
다항식 전체도 판별할 수 있나요? 이 버전은 하나의 거듭제곱 항만 검사합니다. 여러 항의 합은 모든 항이 우함수일 때만 우함수이고, 모든 항이 홀함수일 때만 홀함수입니다.
