奇函數偶函數判斷計算機

輸入計算

係數 a（用於 a·x^p）

次方 p（整數）

測試值 x

This tool tests a single power term f(x) = a·x^p. A function is 偶函數 if f(-x)=f(x) and 奇函數 if f(-x)=-f(x).

結果

函數對稱性

Even

f(-x) = f(x)

f(x)	9
f(-x)	9
-f(x)	-9

什麼是偶函數與奇函數？

函數用來描述輸入值 \(x\) 與輸出值 \(f(x)\) 之間的關係，而其中最實用的結構性質之一就是對稱性。如果一個函數的圖形對 y 軸呈鏡像對稱，也就是對所有 \(x\) 都滿足 \(f(-x) = f(x)\)，那它就是偶函數。如果圖形對原點呈旋轉對稱，也就是滿足 \(f(-x) = -f(x)\)，那它就是奇函數。當然，也有許多函數兩者皆非。

偶函數關於y軸對稱，奇函數關於原點對稱。

計算機使用方式

本工具用來檢驗形如 \(f(x) = a \cdot x^{p}\) 的單一冪次項。請輸入係數 a、整數次方 p，以及一個非零的測試值 x。計算機會分別算出 \(f(x)\) 與 \(f(-x)\)，再加以比較：若 \(f(-x)\) 等於 \(f(x)\)，該項為偶函數；若 \(f(-x)\) 等於 \(-f(x)\)，則為奇函數；否則兩者皆非。

公式說明

對於單純的冪次項來說，決定對稱性的關鍵就在於次方 \(p\)。當 \(p\) 為偶數時，\((-x)^{p} = x^{p}\)，因此 \(f(-x) = f(x)\)，函數為偶函數。當 \(p\) 為奇數時，\((-x)^{p} = -x^{p}\)，因此 \(f(-x) = -f(x)\)，函數為奇函數。係數 \(a\) 並不會改變分類結果（唯一例外是 \(a = 0\)，此時得到零函數，習慣上視為偶函數）。

$$f(x) = a \cdot x^{p} \;\Rightarrow\; \begin{cases} \text{Even} & \text{if } f(-x) = f(x) \\[4pt] \text{Odd} & \text{if } f(-x) = -f(x) \\[4pt] \text{Neither} & \text{otherwise} \end{cases}$$

將f(-x)與f(x)（偶函數）以及-f(x)（奇函數）進行比較。

範例演算

以 \(f(x) = 2x^{3}\)、\(x = 3\) 為例。代入後得 $$f(3) = 2 \cdot 27 = 54$$ 而 $$f(-3) = 2 \cdot (-27) = -54$$ 由於 \(f(-3) = -f(3)\)，因此這個函數是奇函數。

常見問題

一個函數能同時是奇函數又是偶函數嗎？只有零函數 \(f(x) = 0\) 才會兩者皆是，因為 \(0 = 0 = -0\)。

知道奇偶性有什麼用？它能揭示圖形的對稱性，也能簡化積分運算：奇函數在對稱區間上的積分結果必為零。

這個工具能處理完整的多項式嗎？目前版本只檢驗單一冪次項。若是多項相加，唯有每一項都是偶函數，整體才是偶函數；唯有每一項都是奇函數，整體才是奇函數。