偶関数・奇関数とは？
関数とは、入力 \(x\) と出力 \(f(x)\) の関係を表すものです。その構造のなかでもとくに役立つ性質が対称性です。グラフが y 軸に関して左右対称、つまりすべての \(x\) について \(f(-x) = f(x)\) が成り立つとき、その関数は偶関数と呼ばれます。一方、グラフが原点に関して点対称、すなわち \(f(-x) = -f(x)\) が成り立つとき、奇関数と呼ばれます。実際には、そのどちらにも当てはまらない関数も数多くあります。
この計算機の使い方
このツールは、 $$f(x) = a \cdot x^{p}$$ という単一のべき項を判定します。係数a、整数の指数p、そして 0 以外のテスト値xを入力してください。計算機が \(f(x)\) と \(f(-x)\) を求めて比較します。 $$f(x) = a \cdot x^{p} \;\Rightarrow\; \begin{cases} \text{Even} & \text{if } f(-x) = f(x) \\[4pt] \text{Odd} & \text{if } f(-x) = -f(x) \\[4pt] \text{Neither} & \text{otherwise} \end{cases}$$ f(-x) = f(x) なら偶関数、f(-x) = -f(x) なら奇関数、どちらでもなければ「どちらでもない」と判定されます。
計算式の解説
純粋なべき項では、対称性を決めるのは指数です。\(p\) が偶数のとき \((-x)^{p} = x^{p}\) となるため、\(f(-x) = f(x)\) が成り立ち偶関数になります。\(p\) が奇数のとき \((-x)^{p} = -x^{p}\) となるため、\(f(-x) = -f(x)\) が成り立ち奇関数になります。係数 \(a\) は分類には影響しません（ただし \(a = 0\) の場合は恒等的に 0 となる零関数で、これは偶関数として扱われます）。
計算例
\(f(x) = 2x^{3}\) で \(x = 3\) の場合を考えます。すると $$f(3) = 2 \cdot 27 = 54, \quad f(-3) = 2 \cdot (-27) = -54$$ となります。\(f(-3) = -f(3)\) が成り立つので、この関数は奇関数です。
よくある質問
偶関数であり同時に奇関数でもある関数はありますか？ 零関数 \(f(x) = 0\) だけが両方に当てはまります。\(0 = 0 = -0\) が成り立つためです。
偶関数・奇関数だと何がわかりますか？ グラフの対称性がわかるほか、積分を簡単にできます。奇関数を原点対称な区間で積分すると、結果は 0 になります。
多項式全体にも対応していますか？ このバージョンは 1 つのべき項を判定します。複数の項の和は、すべての項が偶関数のときに限り偶関数となり、すべての項が奇関数のときに限り奇関数となります。
