ما المقصود بالدالة الزوجية أو الفردية؟
تصف الدالة العلاقة بين قيمة الدخل \(x\) وقيمة الخرج \(f(x)\). ومن أهم خصائصها البنيوية وأكثرها فائدة خاصية التماثل. تُسمّى الدالة زوجية إذا كان منحناها متماثلًا انعكاسيًا حول المحور y، أي أن \(f(-x) = f(x)\) لكل قيمة من قيم \(x\). وتُسمّى الدالة فردية إذا كان منحناها متماثلًا دورانيًا حول نقطة الأصل، أي أن \(f(-x) = -f(x)\). وهناك دوال كثيرة لا تنتمي إلى أيٍّ من النوعين.
كيفية استخدام هذه الحاسبة
تختبر هذه الأداة حدًّا واحدًا من حدود القوة على الصورة \(f(x) = a \cdot x^{p}\). أدخل المعامل a، والأُس الصحيح p، وقيمة اختبار x لا تساوي صفرًا. تحسب الأداة قيمتي \(f(x)\) و\(f(-x)\) ثم تقارن بينهما: فإذا كانت \(f(-x)\) تساوي \(f(x)\) فالحد زوجي، وإذا كانت \(f(-x)\) تساوي \(-f(x)\) فالحد فردي، وما عدا ذلك فلا هو زوجي ولا فردي.
شرح القانون
في حدّ القوة الصافي، يحدّد الأُس نوع التماثل. $$f(x) = a \cdot x^{p} \;\Rightarrow\; \begin{cases} \text{Even} & \text{if } f(-x) = f(x) \\[4pt] \text{Odd} & \text{if } f(-x) = -f(x) \\[4pt] \text{Neither} & \text{otherwise} \end{cases}$$ فعندما يكون \(p\) زوجيًا، تكون \((-x)^{p} = x^{p}\)، ومن ثَمّ \(f(-x) = f(x)\) وتكون الدالة زوجية. أما عندما يكون \(p\) فرديًا، فتكون \((-x)^{p} = -x^{p}\)، ومن ثَمّ \(f(-x) = -f(x)\) وتكون الدالة فردية. ولا يغيّر المعامل \(a\) من التصنيف (باستثناء \(a = 0\)، الذي يعطي الدالة الصفرية التي تُعدّ زوجية).
مثال محلول
لنأخذ \(f(x) = 2x^{3}\) عند \(x = 3\). عندها يكون $$f(3) = 2 \cdot 27 = 54$$ و$$f(-3) = 2 \cdot (-27) = -54.$$ وبما أن \(f(-3) = -f(3)\)، فإن الدالة فردية.
الأسئلة الشائعة
هل يمكن أن تكون الدالة زوجية وفردية في آنٍ واحد؟ الدالة الصفرية \(f(x) = 0\) وحدها تجمع بين الصفتين، لأن \(0 = 0 = -0\).
ماذا تخبرني خاصية كون الدالة زوجية أو فردية؟ إنها تكشف تماثل المنحنى، وقد تبسّط حساب التكاملات: فالدوال الفردية يكون تكاملها صفرًا على الفترات المتماثلة.
هل تتعامل هذه الأداة مع كثيرات الحدود الكاملة؟ تفحص هذه النسخة حدًّا واحدًا من حدود القوة. أما مجموع الحدود فيكون زوجيًا فقط إذا كان كل حد زوجيًا، ويكون فرديًا فقط إذا كان كل حد فرديًا.
