ما هو نموذج النمو اللوجستي؟
يصف نموذج النمو اللوجستي كيف ينمو المجتمع بسرعة عندما يكون حجمه صغيرًا، ثم يتباطأ تدريجيًا كلما اقترب من أقصى حجم يمكن للبيئة أن تتحمله، وهو ما يُعرف بالسعة الاستيعابية (K). وعلى عكس النمو الأسي غير المحدود، يأخذ المنحنى اللوجستي شكل حرف S (منحنى سيغمويدي): نمو سريع في البداية، ثم نقطة انعطاف عند \(K/2\)، يليها استقرار قرب القيمة K. ويُستخدم هذا النموذج على نطاق واسع في علم البيئة والأحياء وعلم الأوبئة، بل وحتى في نماذج تبنّي التقنيات وتشبّع الأسواق.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل أربع قيم: السعة الاستيعابية K (الحد الأقصى)، والحجم الأولي للمجتمع P0 عند اللحظة صفر، ومعدل النمو الذاتي r (لكل وحدة زمنية)، والزمن المنقضي t. ستُظهر لك الحاسبة حجم المجتمع P(t) وثابت النموذج A وإجمالي النمو منذ البداية.
شرح المعادلة
تُكتب المعادلة على الصورة
$$P(t) = \frac{\text{K}}{1 + A\,e^{-\text{r}\cdot\text{t}}} \qquad A = \frac{\text{K} - \text{P}_0}{\text{P}_0}$$وقيمة الثابت A تتحدد من الشروط الأولية بحيث يكون \(P(0) = P_0\). ومع تزايد الزمن \(t\)، يتقلّص الحد \(e^{-rt}\) ليقترب من الصفر، فيقترب المقام من 1، وتقترب \(P(t)\) من القيمة K. أما معدل النمو \(r\) فيتحكّم في مدى انحدار المنحنى وسرعة صعوده.
مثال محلول
لنفترض أن \(K = 1000\)، و\(P_0 = 10\)، و\(r = 0.5\)، و\(t = 5\). أولًا نحسب
$$A = \frac{1000 - 10}{10} = 99$$ثم
$$e^{-0.5\cdot 5} = e^{-2.5} \approx 0.082085$$فيكون المقام
$$1 + 99\cdot 0.082085 \approx 9.1264$$ومن ثَمّ
$$P(5) = \frac{1000}{9.1264} \approx 109.57$$أي أن المجتمع نما من 10 إلى نحو 110 خلال 5 وحدات زمنية.
الأسئلة الشائعة
ماذا يحدث إذا كانت قيمة r سالبة؟ القيمة السالبة لـ \(r\) تُحاكي تراجعًا نحو الصفر بدلًا من النمو نحو K.
ما هي نقطة الانعطاف؟ يكون النمو في أسرع حالاته عندما يكون \(P = K/2\)؛ فقبل هذه النقطة يتسارع المنحنى، وبعدها يتباطأ.
هل يمكن أن تتجاوز P قيمة K؟ إذا بدأ المجتمع بحجم أكبر من K (تجاوز للحد)، فإن النموذج يُعيد قيمًا تتناقص تدريجيًا لتعود نحو K مع مرور الوقت.
