ما هو التوزيع اللوجستي؟
التوزيع اللوجستي هو توزيع احتمالي متصل يشبه في شكله التوزيع الطبيعي لكنه يتميز بذيول أثقل (أي احتمالات أكبر للقيم المتطرفة). يُعرَّف بمعلمة الموقع a (التي تساوي متوسطه ووسيطه)، ومعلمة المقياس b > 0. أما دالته التراكمية فهي منحنى السيجمويد اللوجستي المعروف، وهذا ما يجعل هذا التوزيع حاضرًا بكثرة في الانحدار اللوجستي ونمذجة النمو وتعلُّم الآلة. هذه الحاسبة رياضية بحتة وتنطبق بالطريقة نفسها في كل مكان، دون أي افتراضات خاصة ببلد معيّن.
كيفية استخدام الحاسبة
اختر الدالة التي تريد حسابها: الكثافة الاحتمالية f، أو الاحتمال التراكمي الأدنى P (الدالة التراكمية CDF)، أو الاحتمال التراكمي الأعلى Q (دالة البقاء). أدخل قيمة الموقع a والمقياس b. ثم حدِّد شبكة قيم x: القيمة الأولية، ومقدار الخطوة، وعدد النقاط. تولِّد الأداة القيم وفق العلاقة \(x_i = \text{startX} + i\cdot\text{stepX}\) حيث \(i = 0..\text{points}-1\)، ثم تحسب الدالة المختارة عند كل قيمة، وتعرض القيمة الرئيسية عند أول x، وتسرد السلسلة كاملة، وترسم منحنى خطيًّا.
شرح الصيغة
نُعرِّف المتغير المعياري \(z = (x - a)/b\) والمقدار \(E = e^{-z}\). تكون الكثافة عندئذٍ $$f = \frac{1}{b}\cdot\frac{E}{(1+E)^2}.$$ وإذا كتبنا دالة السيجمويد \(\sigma = 1/(1+E)\)، فإن ذلك يساوي \(\sigma(1-\sigma)/b\). أما الدالة التراكمية الأدنى فهي ببساطة $$P = \sigma = \frac{1}{1+e^{-z}},$$ وتتزايد بشكل رتيب من 0 إلى 1، بينما دالة البقاء (التراكمي الأعلى) هي \(Q = 1 - P\). ولتفادي الطفح العددي (overflow)، تُحسب دالة السيجمويد على صورة \(1/(1+e^{-z})\) عندما \(z \geq 0\)، وعلى صورة \(e^z/(1+e^z)\) عندما \(z < 0\).
مثال محلول
لنأخذ \(a = 0\) و\(b = 0.7\)، ونحسب عند \(x = 0.7\). عندئذٍ \(z = 1\) و\(E = e^{-1} = 0.367879\). تكون الكثافة $$f = \frac{1}{0.7}\cdot\frac{0.367879}{(1.367879)^2} \approx 0.28087.$$ والتراكمي الأدنى $$P = \frac{1}{1.367879} \approx 0.73106.$$ والتراكمي الأعلى $$Q = 1 - 0.73106 \approx 0.26894.$$ وعند الوسيط \(x = a = 0\) تحصل على ذروة الكثافة \(1/(4b) = 0.35714\) مع \(P = Q = 0.5\).
الأسئلة الشائعة
ماذا لو كانت b صفرًا أو سالبة؟ يكون التوزيع غير معرَّف؛ إذ تشترط الحاسبة أن تكون \(b > 0\) وإلا أعادت رسالة خطأ.
ما المتوسط والتباين؟ المتوسط (والوسيط) يساوي \(a\)، أما التباين فهو \((\pi^2/3)\cdot b^2\).
هل يمكنني استخدام شبكة تنازلية؟ نعم — فالخطوة السالبة تنتج قيم x متناقصة، والخطوة المساوية للصفر تُقيِّم كل النقاط عند القيمة الأولية نفسها.
