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Résultats

Population à l'instant t, P(t)

109,57

unités

Constante A = (K - P0)/P0	99
Croissance depuis le départ (P(t) - P0)	99,57

Qu'est-ce que le modèle de croissance logistique ?

Le modèle de croissance logistique décrit comment une population croît rapidement lorsqu'elle est petite, puis ralentit à mesure qu'elle approche d'une taille maximale soutenable appelée capacité de charge (K). Contrairement à la croissance exponentielle illimitée, la courbe logistique a une forme de S (sigmoïde) : une croissance rapide au départ, un point d'inflexion à $K/2$, puis un plateau au voisinage de K. On l'utilise couramment en écologie, en biologie, en épidémiologie, mais aussi pour modéliser l'adoption des technologies et la saturation des marchés.

Courbe de croissance logistique en S s'approchant d'une ligne horizontale de capacité de charge — La courbe logistique a une forme en S : elle monte depuis P0 et se stabilise à la capacité de charge K.

Comment utiliser ce calculateur

Renseignez quatre valeurs : la capacité de charge K (la limite supérieure), la population initiale P0 à l'instant zéro, le taux de croissance intrinsèque r (par unité de temps) et le temps écoulé t. Le calculateur vous donne la population P(t), la constante A du modèle et la croissance totale depuis le départ.

La formule expliquée

Le modèle s'écrit

$$P(t) = \frac{\text{K}}{1 + A\,e^{-\text{r}\cdot\text{t}}} \qquad A = \frac{\text{K} - \text{P}_0}{\text{P}_0}$$

La constante A est déterminée par les conditions initiales, de sorte que $P(0) = P_0$. Lorsque t augmente, le terme $e^{-rt}$ tend vers zéro, le dénominateur tend vers 1 et P(t) se rapproche de K. Le taux de croissance r régit la rapidité de la montée.

Schéma comparant les phases de démarrage lent, de milieu rapide et de fin saturée de la croissance logistique — La croissance est lente près de P0, maximale à K/2 (le point d'inflexion), puis ralentit quand P approche K.

Exemple concret

Supposons $K = 1000$, $P_0 = 10$, $r = 0{,}5$ et $t = 5$. On calcule d'abord

$$A = \frac{1000 - 10}{10} = 99$$

Ensuite $e^{-0{,}5\cdot 5} = e^{-2{,}5} \approx 0{,}082085$. Le dénominateur vaut $1 + 99\cdot 0{,}082085 \approx 9{,}1264$, donc

$$P(5) = \frac{1000}{9{,}1264} \approx 109{,}57$$

La population est passée de 10 à environ 110 en 5 unités de temps.

FAQ

Que se passe-t-il si r est négatif ? Un r négatif modélise un déclin vers zéro plutôt qu'une croissance vers K.

Qu'est-ce que le point d'inflexion ? La croissance est la plus rapide quand $P = K/2$ ; avant ce point la courbe accélère, après ce point elle décélère.

P peut-il dépasser K ? Si la population initiale démarre au-dessus de K (dépassement), le modèle renvoie des valeurs qui décroissent progressivement vers K au fil du temps.

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